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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Sa 28.03.2009 | | Autor: | TheQ |
| Aufgabe | Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt:
n>ln(2n) |
Diese Aufgabe fällt etwas aus dem Rahmen von anderen Aufgaben zu dem Thema, was mich etwas verwirrt. Ich habe den Lösungsweg dazu, bin aber dennoch verwirrt, was da genau passiert:
I) n=1 Es ist 1 = ln(e)>ln(2)
So weit klar, 1 ist ln(e) und die Aussage trifft zu
II): Sei n> ln(2n)
Allgemeine Behauptung, diese gilt es zu beweisen; auch klar
III) n+1 > ln(2n)+1 = ln(2n) + ln(e) > ln(2n) + ln(2) = ln (2(n+1))
Die erste Unklarheit ist bei
n+1 > ln(2n)+1
Müsste es da nicht konsequenter Weise heissen
n+1 > ln(2n)+1
Offensichtlich nicht, aber warum ist das so?
Danach verstehe ich folgenden Schritt nicht:
ln(2n) +ln(e) > ln(2n) + ln(2)
ln(e) wird anstelle von 1 eingesetzt, das verstehe ich, aber wo kommt plötzlich ln(2) her?
Bisher habe ich eigentlich nur Induktionsaufgaben in der Form von
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] 2i = n(n+1) lösen müssen. Bei solchen Aufgaben ist mir das vorgehen klar, nur kann ich das irgendwie nicht auf die genannte Aufgabe übertragen und es fällt mir schwer, herauszufinden welches die Teile von "n" und welche von "n+1" sind.
Mit bestem Dank für die Hilfe.
TheQ
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Sa 28.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> I) n=1 Es ist 1 = ln(e)>ln(2)
> So weit klar, 1 ist ln(e) und die Aussage trifft zu
Naja, die Ungleichung am Ende liegt folgt halt aus e>2 (der Logarithmus ist streng monoton wachsend).
> II): Sei n> ln(2n)
> III) n+1 > ln(2n)+1 = ln(2n) + ln(e) > ln(2n) + ln(2) = ln (2(n+1))
>
> Die erste Unklarheit ist bei
> n+1 > ln(2n)+1
Das ist die Induktionsvoraussetzung.
> Danach verstehe ich folgenden Schritt nicht:
> ln(2n) +ln(e) > ln(2n) + ln(2)
> ln(e) wird anstelle von 1 eingesetzt, das verstehe ich,
> aber wo kommt plötzlich ln(2) her?
Das ist dieselbe Abschätzung wie in der Induktionsvoraussetzung. ln(e)>ln(2).
Das eigentliche Problem an dem "Beweis" oben ist die Stelle ln(2n) + ln(2) = ln (2(n+1)). Das ist nämlich falsch. Richtig muss es heißen: ln(2n) + ln(2) > ln(n+1) + ln(2) = ln (2(n+1)) (und dies gilt wegen der Monotonie des Logarithmus und $2n>n+1$ für $n>1$)
Gruß, Robert
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