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Hallo.
Wir haben letzte Stunde ein Beispiel gemacht zur vollständigen Induktion, und haben jetzt ein paar Aufgaben bekommen, die wir zu Hause machen sollen. Aber irgendwie komm ich da nicht weiter. Würd mich über Hilfe freuen.
zu beweisen:
[mm] \summe_{i=1}^{n} i^3 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] n²* (n+1)²
da hab ich gemacht:
Induktionsanfang: (Es ist zu zeigen, dass die Gleichung für n=1 gilt):
[mm] \summe_{i=1}^{n} i^3 [/mm] = bruch{1}{4}* 1²* (1+1)² = 1
Induktionsschrit: (Man nimmt an, dass die Gleichung für n=k gilt und zeigt, dass die Gleichung für n= k+1 gilt)
[mm] \summe_{i=1}^{k} i^3 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] k²* (k+1)²
z.z.: [mm] \summe_{i=1}^{k+1} i^3 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}*(k+1)²* [/mm] (k+2)²
[mm] \bruch{1}{4}*(k+1)²* [/mm] (k+2)² = [mm] \bruch{1}{4}*(k+2k+1)* [/mm] (k²+4k+4)
[mm] =\bruch{1}{4}*(k^4 [/mm] + 14k³ + 5k² + 12k + 4)
[mm] \summe_{i=1}^{k} i^3 [/mm] + (k+1)³
[mm] =\bruch{1}{4} [/mm] k²* (k+1)² + (k³+3k² +4k +2)
[mm] =\bruch{1}{4} k^4 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] k³ + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] k²+k³+3k²+3k+1
[mm] =\bruch{1}{4} k^4 +1\bruch{1}{2} [/mm] k³ + [mm] 3\bruch{1}{2} [/mm] k² + 3k +1
[mm] \bruch{1}{4} (k^4+ [/mm] 6k³+14k²+12k+4)
Also würd es nach meiner Rechnung nicht richtig sein, aber ich finde meinen Fehler nicht....
und bei [mm] \summe_{i=1}^{n} i^4 [/mm] = bruch{1}{30}* (n+1)*(2n+1)*(3n²+3n-1) weiß ich garnet weiter...
Lg
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Hallo albafreak,
das sieht doch im Ansatz gar nicht schlecht aus!
> zu beweisen:
> [mm] \summe_{i=1}^{n}i^3=\bruch{1}{4}n^2*(n+1)^2
[/mm]
>
> Induktionsanfang: (Es ist zu zeigen, dass die Gleichung für
> n=1 gilt):
>
> [mm] \summe_{i=1}^{\red{1}}i^3\red{=1^3}= bruch{1}{4}*1^2*(1+1)^2=1
[/mm]
>
> Induktionsschritt: (Man nimmt an, dass die Gleichung für n=k
> gilt und zeigt, dass die Gleichung für n=k+1 gilt)
>
> [mm] \summe_{i=1}^{k} i^3=\bruch{1}{4}k^2*(k+1)^2
[/mm]
>
> z.z.: [mm] \summe_{i=1}^{k+1} i^3=\bruch{1}{4}*(k+1)^2*(k+2)^2
[/mm]
>
> [mm] \bruch{1}{4}*(k+1)^2*(k+2)^2=\bruch{1}{4}*(k^{\red{2}}+2k+1)*(k^2+4k+4)
[/mm]
> [mm] =\bruch{1}{4}*(k^4+14k^3+5k^3+12k+4)
[/mm]
Patzer im Finish... Die Klammer müsste heißen: [mm] k^4+\red{6}k^3+\red{13}k^2+12k+4
[/mm]
Rechne nochmal nach.
> [mm] \summe_{i=1}^{k} i^3+(k+1)^3
[/mm]
> [mm] =\bruch{1}{4}k^2*(k+1)^2 +(k^3+3k^2+\red{3}k+\red{1})
[/mm]
Hier habe ich direkt hineinkorrigiert. Du hast [mm] (k+1)^3 [/mm] falsch ausgerechnet.
> [mm] =\bruch{1}{4}k^4+\bruch{1}{2}k^3+\bruch{1}{\red{4}}k^2+k^3+3k^2+3k+1
[/mm]
Komisch. Hier stimmt das Ende wieder, dafür der Anfang nicht.
> [mm] =\bruch{1}{4}k^4 +1\bruch{1}{2}k^3+3\bruch{1}{\red{4}}k^2+3k+1
[/mm]
Nur als Tipp: vermeide bei solchen Rechnungen gemischte Brüche wie [mm] 3\bruch{1}{4}. [/mm] Man verwechselt sie bei längeren Ausdrücken zu leicht mit der Multiplikation [mm] 3*\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}(k^4+6k^3+13k^2+12k+4)
[/mm]
Mit allen Korrekturen stimmts dann doch.
Nebenbei: man kann auch kürzer rechnen.
[mm] \bruch{1}{4}k^2(k+1)^2+(k+1)^3=\bruch{1}{4}(k+1)^2\left(k^2+4(k+1)\right)=\bruch{1}{4}(k+1)^2(k^2+4k+4)=\bruch{1}{4}(k+1)^2(k+2)^2
[/mm]
Das funktioniert oft beim Induktionsschritt. Meistens gibt es irgendetwas auszuklammern, also ein oder mehrere Glieder, die die Summenformeln für n und für (n+1) gemeinsam haben.
> und bei [mm]\summe_{i=1}^{n} i^4[/mm] = bruch{1}{30}*
> (n+1)*(2n+1)*(3n²+3n-1) weiß ich garnet weiter...
Hier zum Beispiel, wenn auch nicht viel.
> Lg
Grüße
reverend
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