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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Izzo |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n(n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] |
1. Induktionsanfang stimmt, da kommt 1/2 = 1/2 raus.
...
Beim Beweis haperts.
[mm] \bruch{m}{m+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(m+1)(m+2)} [/mm] = [mm] \bruch{m+1}{m+2}
[/mm]
Wenn ich links alles auf einen Nenner schreib, kommt:
[mm] \bruch{m(m+1)(m+2)+(m+1)}{(m+1)(m+1)(m+2)}
[/mm]
nach dem Ausmultiplizieren hab ich:
[mm] \bruch{m^3+ 3m^2+ 3m+ 1}{m^3+ 4m^2+ 5m+ 2}
[/mm]
Der Zähler ist [mm] (m+1)^3
[/mm]
Aber beim Nenner eben nicht [mm] (m+2)^3
[/mm]
Wo ist mein Fehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Izzo!
> Wenn ich links alles auf einen Nenner schreib, kommt:
>
> [mm]\bruch{m(m+1)(m+2)+(m+1)}{(m+1)(m+1)(m+2)}[/mm]
Hier machst Du zuviel. Der Hauptnenner lautet $(m+19*(m+2)_$ , so dass ausreicht:
$$... \ = \ [mm] \bruch{m*(m+2)+1}{(m+1)*(m+2)} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:22 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Izzo |
Danke! So wirds doch gleich viel einfacher.^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Izzo |
Na ich komme da nach dem ausmultiplizieren auf:
[mm] \bruch{m^2+2m+1}{m^2+3m+2}
[/mm]
Unten ist immer noch nicht das Binom [mm] (m+2)^2
[/mm]
...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Izzo!
Zum einen machst Du es Dir unnötig schwer, wenn Du im Nenner die Klammern ausmultiplizierst. Zum anderen muss im Nenner auch nicht [mm] $(m+2)^2$ [/mm] herauskommen, sondern $(m+1)*(m+2)_$ . Dann kann man nämlich durch $(m+1)_$ kürzen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:43 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Izzo |
AAAH!
Was war denn grad los?
Wohl'n totaler Blackout.^^
Klar, danke.
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Induktion ist hier nicht zu empfehlen,
oder soll man das so machen?
Aufgabenstellung genauer!
Eine kurze Lösung ist folgende:
Man sieht (notfalls mut Partialbruchzerlegung)
1/(k*(k+1)) = 1/k - 1/(k+1)
Hieraus ist ersichtlich, dass
[mm] \sum_{k=1}^{n} [/mm] 1/(k*(k+1)) =
[mm] \sum_{k=1}^{n} [/mm] 1/k - [mm] \sum_{k=1}^{n} [/mm] 1/(k+1) =
[mm] sum_{k=1}^{n} [/mm] 1/k - [mm] \sum_{k=2}^{n+1} [/mm] 1/k =
1 - 1/(n+1) = [mm] \frac{n}{n+1}
[/mm]
Gruss Schlunzbuns
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Izzo |
Man soll induzieren. :(
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