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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Do 22.01.2009 | | Autor: | moody |
| Aufgabe | Wir sollten die ersten 3 Ableitungen von [mm] f_a(x) [/mm] = [mm] (x+a)e^{-x} [/mm] aufstellen und daraus eine Formel für alle Ableitungen herleiten.
[mm] f_a'(x) [/mm] = [mm] \bruch{1-x-a}{e^x}
[/mm]
[mm] f_a''(x) [/mm] = [mm] \bruch{-2+x+a}{e^x}
[/mm]
[mm] f_a'''(x) [/mm] = [mm] \bruch{3-x-a}{e^x}
[/mm]
[mm] f_a^n(x) [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n(-n+x+a)}{e^x} [/mm] |
Das sollen wir nun mit der vollständigen Induktion beweisen.
Wir haben das nur einmal behandelt und das ist lange her.
Hier mein Ansatz
[mm] A_a(n) [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n(-n+x+a)}{e^x}
[/mm]
Bewiesen werden soll, dass [mm] A_a(n) [/mm] die n-te Ableitung von [mm] f_a(x) [/mm] beschreibt.
Induktionsanfang:
[mm] A_a(1) [/mm] = [mm] \bruch{1-x-a}{e^x} [/mm] = [mm] f_a'(x) [/mm]
Induktionsanfang:
[mm] A_a(n) [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n(-n+x+a)}{e^x} [/mm] => [mm] A_a(n+1) [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^{n+1}(-(n+1)+x+a)}{e^x}
[/mm]
[mm] \bruch{(-1)^n(-n+x+a)}{e^x} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^{n+1}(-(n+1)+x+a)}{e^x}
[/mm]
Jetzt irgendwie nach n = n+1 auflösen oder wie macht man hier weiter?
lg moody
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Do 22.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo moody!
Nimm Dir [mm] $A_a(n) [/mm] \ = \ [mm] f_a^{(n)}(x)$ [/mm] und bilde die Ableitung. Da sollte dann [mm] $A_a(n+1)$ [/mm] herauskommen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Do 22.01.2009 | | Autor: | moody |
> Nimm Dir [mm]A_a(n) \ = \ f_a^{(n)}(x)[/mm] und bilde die Ableitung.
> Da sollte dann [mm]A_a(n+1)[/mm] herauskommen.
Hallo!
erstmal danke für die sehr schnell Antwort.
Ich hake bei der Ableitung:
Ich wollte das mit der Kettenregel machen und nehme den Zähler als $u(x)$.
$u(x) = [mm] (-1)^n [/mm] (-n+x+a)$
Die Ableitung von u(x) wollte ich dann mit der Produktregel bestimmen.
Dafür müsste ich dann [mm] $(-1)^n$ [/mm] mit der Kettenregel ableiten.
Ich nehme also [mm] $x^n$ [/mm] das ist [mm] $n*x^{n-1} [/mm] * 0$ [Weil die Ableitung von -1 0 ist]
Also habe ich $u'(x) = 0$
$v(x) = (-n+x+a)$
$v'(x) = (-1+1) = 0$
Also kriege ich für den Zähler in der Ableitung 0 heraus.
Meine Ableitung wäre dann:
[mm] \bruch{0}{e^{2x}}
[/mm]
Ich glaube nicht das das sein kann.
lg moody
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Do 22.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo moody!
Für die Variable $x_$ ist [mm] $(-1)^n$ [/mm] ein konstanter Faktor, der beim Ableiten erhalten bleibt.
Gruß
Loddar
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