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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Di 16.12.2008 | | Autor: | fndrx |
Hi miteinander :P
Ich habe hier eine kleine Aufagbe und komme immer wieder auf ein anderes Ergebnis als es das Lösungsbuch vermittelt
Die Aufgabe ist simpel : Man soll von der Zahlenfolge [mm] a_(n+1)=3-(1/a_n)
[/mm]
nachweisen , dass diese beschränkt ist , a1 = 1
Ich behaupte mal dass 1 <= [mm] a_n [/mm] < 3 sei
Anfang : 1<=1<3 stimmt also
Annahme : [mm] 1<=a_k<3
[/mm]
k->k+1 1<=a_(k+1)<3
a_(k+1) = [mm] 3-(1/a_k) [/mm] -> [mm] 1<=3-(1/(a_k))<3
[/mm]
Nun soweit steht das auch im Lbuch , aber am ende steht bei denen :
2 <= [mm] a_k [/mm] < 3 und ich habe nach ca. 30min überlegen kA wie die da drauf kommen. der einzigste Weg auf die 2 zu kommen wäre folgender
3-(1/1) = 2 , da [mm] 1<=a_k [/mm] also kann man ja [mm] a_k [/mm] mit ersetzen , aber weiss nicht ob das ganz so stimmt. Selbes Verfahren für die 3 würde 2.67 rauskommen. Ich weiss echt nicht mehr weiter :/
Danke schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo fndrx!
In der Ungleichheitskette $1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] a_n [/mm] \ < \ 3$ wird es schwer, mittels Induktion den Wahrheitsgehalt nachzuweisen.
Daher musst Du diese Kette in zwei einzelne Ungleichungen zerlgen und dann auch zwei separate Induktionen durchführen:
$$1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] a_n$$
[/mm]
[mm] $$a_n [/mm] \ < \ 3$$
So kann man dann auch das Ergebnis der einen Ungleichung in die andere Ungleichung einsetzen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Di 16.12.2008 | | Autor: | fndrx |
Also wäre das dann :
1<= [mm] a_k
[/mm]
1<= [mm] a_(k+1)=3-(1/a_k)
[/mm]
[mm] 1<=3-(1/a_k) [/mm] löst man jetzt das ganze nach [mm] a_k [/mm] auf ??
Würde ja dann nicht mehr 2 rauskommen , Das verwirrt mich momentan mehr als genug :/
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Hallo fndrx!
> 1<= [mm]a_k[/mm]
> 1<= [mm]a_(k+1)=3-(1/a_k)[/mm]
> [mm]1<=3-(1/a_k)[/mm] löst man jetzt das ganze nach [mm]a_k[/mm] auf ??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Würde ja dann nicht mehr 2 rauskommen ,
Na, was kommt denn heraus? Das scheint mir sogar noch strenger als $1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] a_k$ [/mm] zu sein!
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Di 16.12.2008 | | Autor: | reverend |
Wieso ist denn [mm] \bruch{1}{2} \le a_k [/mm] strenger als [mm] 1\le a_k [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 Di 16.12.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo reverend!
Okay, das habe ich unglücklich formuliert ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Di 16.12.2008 | | Autor: | fndrx |
Ja aber genau das ist mein Problem betrachtet man
3 > 3 - [mm] 1/a_k
[/mm]
hätte man 0 > [mm] 1/a_k [/mm] und wie soll man das weiter auflösen
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Hallo fndrx!
Verwende nun die andere Ungleichung mit: [mm] $a_k [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 1 \ > \ 0$ .
Was folgt dann fur [mm] $\bruch{1}{a_k}$ [/mm] ?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Di 16.12.2008 | | Autor: | fndrx |
1 >= [mm] a_k [/mm] > 0 ?
Würde abre kein bisschen mit der Lösung 2<= [mm] a_k [/mm] < 3 übereinstimmen :(
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Hallo fndrx!
Durch Anwendung der 1. Ungleichung / Bedingung ergibt [mm] $\bruch{1}{a_k} [/mm] \ > \ 0$ immer eine wahre Aussage.
Damit wurde auch die Gültigkeit von [mm] $a_k [/mm] \ < \ 3$ gezeigt.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:41 Di 16.12.2008 | | Autor: | fndrx |
Weil die kleinste einzusetzende Zahl 1 wäre und 1/1 = 1 < 3 , stimmts ?
alles andere würde den Bruch nur kleiner machen 1/2 < 1/1 < 3 usw
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