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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:14 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Elphaba |
| Aufgabe | Zeigen sie mit vollständiger Induktion:
[mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{2})^{n} [/mm] = 2- ( [mm] \bruch{1}{2})^{n} [/mm] |
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Den Induktionsanfang schaffe ich noch:
Für n=0 ist
[mm] \summe_{i=0}^{0} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{2})^{n} [/mm] = 2- ( [mm] \bruch{1}{2})^{0}
[/mm]
<=> 1
Jetzt kommt allerdings der Induktionsschritt:
[mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{2})^{n} [/mm] = 2- ( [mm] \bruch{1}{2})^{n}
[/mm]
Wie soll ich da etwas umformen? ich müsste ja im Prinzip das " 2-" rauskicken, aber das geht doch nicht?!
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Hallo Elphaba und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Zeigen sie mit vollständiger Induktion:
>
> [mm] $\summe_{i=0}^{n} (\bruch{1}{2})^{n}= [/mm] 2- ( [mm] \bruch{1}{2})^{n}$
[/mm]
Achtung, aufpassen mit den Variablen, das muss doch wohl [mm] $\summe_{i=0}^{n} (\bruch{1}{2})^{\red{i}}= [/mm] 2- ( [mm] \bruch{1}{2})^{n}$ [/mm] heißen
> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Den Induktionsanfang schaffe ich noch:
>
> Für n=0 ist
>
> [mm] $\summe_{i=0}^{0} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{2})^{\red{i}} [/mm] = 2- [mm] (\bruch{1}{2})^{0}$
[/mm]
>
> <=> 1 [mm] \red{=1}
[/mm]
>
> Jetzt kommt allerdings der Induktionsschritt:
du machst ihn von [mm] n-1\to [/mm] n ?
Ok, kannst du machen, was ist dann deine Induktionsvoraussetzung?
>
> [mm] $\summe_{i=0}^{n}(\bruch{1}{2})^{\red{i}} [/mm] = 2- [mm] (\bruch{1}{2})^{n}$
[/mm]
Ich mache immer ganz gerne den Schritt von [mm] n\to [/mm] n+1, ich betrachte dann die oben stehende Gleichheit als Induktionsvoraussetzung und muss zeigen, dass die Beh. dann gefälligst auch für n+1 gilt, dass also [mm] $\sum\limits_{i=0}^{n+1}\left(\frac{1}{2}\right)^{i}=2-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$ [/mm] ist
>
> Wie soll ich da etwas umformen? ich müsste ja im Prinzip
> das " 2-" rauskicken, aber das geht doch nicht?!
Nimm dir für den Induktionsschritt die linke Seite her und forme sie mithilfe der Induktionsvoraussetzung um, bis du die rechte Seite hast
[mm] $\sum\limits_{i=0}^{n+1}\left(\frac{1}{2}\right)^{i}=\left(\sum\limits_{i=0}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{i}\right) [/mm] \ + \ [mm] \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$
[/mm]
Da habe ich nur den letzten Summanden, also den für i=n+1 aus der Summe rausgezogen und hinten drangeschrieben
[mm] $=2-\left(\frac{1}{2}\right)^n [/mm] \ + [mm] \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$
[/mm]
Da habe ich auf die Summe bis n nur die Induktionsvoraussetzung angewandt
Jetzt mache dir klar, dass [mm] $\left(\frac{1}{2}\right)^n=2\cdot{}\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$ [/mm] ist und du siehst es ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Elphaba |
| Aufgabe | [mm] \summe_{k=0}^{n} (\bruch{1}{2})^{n}= [/mm] 2- ( [mm] \bruch{1}{2})^{n} [/mm]
Genau so sieht die Formel auf dem Aufgabenblatt aus. Da steht wirklich vor dem gleich hoch n nicht hoch k oder sonstiges. |
Zum Induktionsanfang wurde uns gesagt, wir sollten n=o setzen, da k=0 ist. Darf ich das dann einfach ändern?
Und der Induktionsschritt ist doch dann immer plus 1 irgendwie, oder soll ich da enfach n+1 nehmen?
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> [mm]\summe_{k=0}^{n} (\bruch{1}{2})^{n}=[/mm] 2- (
> [mm]\bruch{1}{2})^{n}[/mm]
>
> Genau so sieht die Formel auf dem Aufgabenblatt aus.
Hallo,
wenn das so auf dem Aufgabnblatt steht, bist Du (eigentlich) schnell fertig:
Der Summationsindex ist k, der kommt in der Summe gar nicht vor.
Das bedeutet: Du sollst n+1-mal [mm] (\bruch{1}{2})^n [/mm] summieren, denn [mm] \summe_{k=0}^{n} (\bruch{1}{2})^n=\underbrace_{(\bruch{1}{2})^n +(\bruch{1}{2})^n+...+(\bruch{1}{2})^n}_{n+1-mal}.
[/mm]
Und die Aussage [mm] (n+1)(\bruch{1}{2})^n [/mm] = [mm] 2-(\bruch{1}{2})^n [/mm] scheint mir i.a. nicht zu stimmen. (Ein Gegenbeispiel reicht)
Auf diese Art und Weise hättest Du Dir die Aufgabe mehr oder weniger elegant vom Halse geschafft...
ABER: das da oben mit unter Garantie ein Druckfehler, so, wie er hier im Forum auch leicht passiert, wenn man aus den Eingabehilfen die vorgefertigte Summe mit dem Summationsindex i nimmt - ist mir schon x-mal passiert.
Das soll also heißen [mm] \summe_{k=0}^{n} (\bruch{1}{2})^k.
[/mm]
Damit ist gemeint [mm] \summe_{k=0}^{n} (\bruch{1}{2})^k=(\bruch{1}{2})^0+(\bruch{1}{2})^1+(\bruch{1}{2})^2+...+(\bruch{1}{2})^n.
[/mm]
Auch hier hast Du n+1 Summanden, aber fürs k wird hier nacheinander 0,1,2,...,n eingesetzt.
Und die Gültigkeit dieser Aussage für jedes [mm] n\in \IN [/mm] sollst Du zeigen.
Du scheinst die vollständige  Induktion noch nicht ganz verstanden zu haben.
Der Ablauf:
Du willst beweisen, daß irgendeine Aussage für jedes n gilt.
Die Induktion:
Induktionsanfang: zeige, daß sie für n=0 (oder n=1) richtig ist.
Induktionsvoraussetzung: nimm einfach an, daß die Aussage für ein n gilt. (Hier ist nichts zu tun)
Induktionsschluß: hier muß man dann zeigen, daß die Aussage unter der gemachten Voraussetzung auch für n+1 stimmt, daß also die Aussage, in welcher man überall n durch n+1 ersetzt hat, richtig ist.
Führe Deine Induktion so durch, daß klar zu erkennen ist, was Induktionsanfang, Induktionsvoraussetzung, Induktionsschluß ist.
Bitte nicht an Tinte und Papier sparen, sonst verwirrt man sich leicht selbst.
Den Ablauf hatte ja schachuzipus ja eigentlich schon mit Dir besprochen. Den Induktionsanfang hattest Du ja schon.
Induktionsvoraussetzung: es gilt [mm] \summe_{k=0}^{n} (\bruch{1}{2})^k=2- (\bruch{1}{2})^{n} [/mm] für ein [mm] n\in \IN
[/mm]
Induktionsschluß [mm] n\to [/mm] n+1:
Zu zeigen: dann ist [mm] \summe_{k=0}^{\red{n+1}} (\bruch{1}{2})^k=2- (\bruch{1}{2})^{\red{n+1}}
[/mm]
Beweis:
Es ist [mm] \summe_{k=0}^{n+1} (\bruch{1}{2})^k [/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{n} (\bruch{1}{2})^k +(\bruch{1}{2})^{n+1} [/mm] = ... + [mm] (\bruch{1}{2})^{n+1} [/mm] (Induktionsvoraussetzung verwenden)
= ...= ... =... = ... =2- [mm] (\bruch{1}{2})^{n+1} [/mm] (solange umformen, bis am Ende das gewünschte dasteht.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Elphaba |
Hallo, dankeschön ich muss sagen ich habs verstanden ^___^
*Angela knuddel* Allerdings, auch wenn die Frage jetzt vielleicht blöd klingt, aber wie kommte ich bitte durch umformen von
> [mm]=\summe_{k=0}^{n} (\bruch{1}{2})^k +(\bruch{1}{2})^{n+1}[/mm] =
> ... + [mm](\bruch{1}{2})^{n+1}[/mm] (Induktionsvoraussetzung verwenden)
>
> = ...= ... =... = ... =2- [mm](\bruch{1}{2})^{n+1}[/mm]
> (solange umformen, bis am Ende das gewünschte dasteht.)
Also habe ich das:
[mm]=\summe_{k=0}^{n} (\bruch{1}{2})^k +(\bruch{1}{2})^{n+1}[/mm] = 2-[mm](\bruch{1}{2})^{n}[/mm] + [mm](\bruch{1}{2})^{n+1}[/mm]
das muss ich ja nun nach 2- [mm] (\bruch{1}{2})^{n+1} [/mm] umformen, ne?
Ich hab jetzt mal wieder Potenzgesetze gewälzt, aber ich finde nichts was ich darauf anwenden könnte -.-"
Würde mich über eine weitere Antwort freuen.
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> Also habe ich das:
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{n} (\bruch{1}{2})^k +(\bruch{1}{2})^{n+1}[/mm] =
> 2-[mm](\bruch{1}{2})^{n}[/mm] + [mm](\bruch{1}{2})^{n+1}[/mm]
>
> das muss ich ja nun nach 2- [mm](\bruch{1}{2})^{n+1}[/mm] umformen,
> ne?
> Ich hab jetzt mal wieder Potenzgesetze gewälzt, aber ich
> finde nichts was ich darauf anwenden könnte -.-"
> Würde mich über eine weitere Antwort freuen.
Hallo,
bedenke folgendes:
2-[mm](\bruch{1}{2})^{n}[/mm] + [mm](\bruch{1}{2})^{n+1}[/mm] =2-1*[mm](\bruch{1}{2})^{n}[/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*[/mm] [mm](\bruch{1}{2})^{n}[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Elphaba |
Ich komm mir langsam echt dämlich vor und stehe total auf dem Schlauch. Vielen Dank nochmal Angela, aber wahrscheinlich wird es mir gleich wie Schuppen von den Augen fallen, aber wie gehts weiter? Ich habe nun ein bisschen probiert. Zum Beweis, dass ich was getan hab(und nicht nur abpinnen will):
[mm] 2-(\bruch{1}{2})^{n} [/mm] + [mm] (\bruch{1}{2})^{n+1} =2-1*(\bruch{1}{2})^{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*(\bruch{1}{2})^{n} [/mm]
<=> [mm] 2-(\bruch{1}{2})^{n}*(1+ \bruch{1}{2}) [/mm] = 2- [mm] (\bruch{1}{2})^{n}*\bruch{3}{2} [/mm]
Aber weiter komme ich nicht *___*
Wo steckt mein Denkfehler? Ich habe heute noch drei Freunde von mir an der Uni gefragt, alle höheres Semster, auch die wussten keine Lösung...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 Mo 03.11.2008 | | Autor: | anstei |
> Ich komm mir langsam echt dämlich vor und stehe total auf
> dem Schlauch. Vielen Dank nochmal Angela, aber
> wahrscheinlich wird es mir gleich wie Schuppen von den
> Augen fallen, aber wie gehts weiter? Ich habe nun ein
> bisschen probiert. Zum Beweis, dass ich was getan hab(und
> nicht nur abpinnen will):
>
>
> [mm]2-(\bruch{1}{2})^{n} + (\bruch{1}{2})^{n+1} [/mm]
> [mm]=2-1*(\bruch{1}{2})^{n} + \bruch{1}{2}*(\bruch{1}{2})^{n}[/mm]
Soweit stimmt's schonmal. Dann aber aufpassen beim Ausklammern mit dem Vorzeichen!
> [mm]= 2-(\bruch{1}{2})^{n}*(1- \bruch{1}{2})[/mm]
> [mm]= 2- (\bruch{1}{2})^{n}*\bruch{1}{2}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Elphaba |
Danke vielmals, das ich den Fehler nicht selbst gesehen hab, beschämt mich, aber egal. :)
Vielen Dank an alle die bei der Lösung beteiligt waren, ihr seid supaaaaaaaaa
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