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Hallo!
Ich schlage mich nun schon länger mit dem Thema vollständige Induktion herum.
Das Prinzip habe ich soweit verstanden auch wenn ich es bisher eher schlecht anwenden kann.
Frage:
Unser Prof hatte unterschiedliche anwendungen und zwar bei manchen aufgaben von n--> n+1 oder von n-1--> n
was ja eigentlich das gleiche ist.
Kann mir jemand an einem beispiel erklären was der unterschied ist, und warum und wann ich es anders anwenden kann oder sollte als von n-->n+1???
Wäre wirklich super!
Ich verstehe das nicht
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
bitte helft mir!
Nici
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Fr 21.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Nik
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
wie du richtig erkannt hast, spielt das im Prinzip wirklich keine Rolle.
Die konkrete Berechnung kann einfach in dem einen Fall einfacher sein als im anderen Fall.
Du musst auch sehen, dass die Beweise oft auf beide Arten geführt werden, und der Professor wählt dann halt einfach den einfacheren aus, um ihn zu präsentieren. Da gibt es keinen Trick, nur Vergleich der Varianten. Manchmal auch etwas Fingerspitzengefühl. Die Ergebnisse der Mathematik liegen ja nicht einfach vor, die wurden mühsam im Laufe der Jahrhunderte erarbeitet. Wir haben jetzt halt die Möglichkeit, von allen Versuchen die Einfachsten herauszupicken. 
Siehe das einfache, wohlbekannte Beispiel:
Die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n:
$1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = [mm] \bruch{n(n+1)}{2}$
[/mm]
Da kannst du also von n-1 nach n schliessen und hast zu rechnen:
[mm] $\bruch{(n-1)n}{2}+n=\bruch{n^2-n+2n}{2}=\bruch{n^2+n}{2}=\bruch{n(n+1)}{2}$
[/mm]
Von n nach n+1 sieht das dann so aus:
[mm] $\bruch{n(n+1)}{2}+(n+1)=\bruch{n^2+n+2n+2}{2}=\bruch{n^2+3n+2}{2}=\bruch{(n+1)(n+2)}{2}$
[/mm]
Hier erkennst du wohl, dass die erste Variante einfacher war, weil die Faktorisierung im Zähler erwas einfacher ist (man kann einfach $n_$ ausklammern).
Deshalb wird man hier zu Präsentationszwecken die Induktion von n-1 nach n vornehmen.
Der Nachteil der schwierigeren Faktorisierung im 2. Fall wiegt aber auch nicht allzu schwer, weil man ja beim Induktionsbeweis ein erwartetes Ergebnis hat. Das kann dann auch als Leitlinie dienen.
Ich hoffe, ich habe dir mit dieser Antwort ein Wenig geholfen.
Mit lieben Grüssen
Paul
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