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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Mi 24.10.2007 | | Autor: | TheSaint |
| Aufgabe | Beweisen sie mittels vollständiger Induktion
[mm] \summe_{k=0}^{n}(2k+1) [/mm] [das heißt 1+3+5+...+(2n+1)] =(n+1)² [mm] \forall n\in \IN [/mm] |
So nun muss ich ja anfangen allgemein mit A(n), ist A(n) dann [mm] \summe_{k=0}^{1}(2k+1)=(n+1)² [/mm] ?
Also wenn ich dann den Induktionsanfang bilde mit [mm] A(1)=(2\*0+1)=(1+1)² [/mm] -> wahr...damit das wahr ist muss ich ja für k=0 einsetzen also summiere ich ja von 0 bis 1 und muss dewegen bei n=1 einsetzen oder?
was wäre dann A(2)??? [mm] A(2)=(2\*1+1)=(2+1)² [/mm] ??? das ist ja offensichtlich völlig falsch...
Ich verstehe nicht was A(2) sein soll, deshalb fehlt mir auch jeglicher weitere Ansatz dazu.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo TheSaint,
Das ist eine Summe, also
n=0: A(0) = 1
n=1: A(0)+A(1) = 4
n=2: A(0)+A(1)+A(2) = 9
Gruß
Slartibartfast
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Mi 24.10.2007 | | Autor: | TheSaint |
Also wäre jetzt die Induktionsbehauptung: [mm] A(n)=\summe_{k=0}^{n}(2k+1)=(n+1)²
[/mm]
Induktionsanfang: [mm] A(1)=A(0)+A(1)=(2\*0+1)+(2\*1+1)=(1+1)²=4 [/mm] -> wahr
kann man das so schreiben?
wäre dann A(n+1)=A(0)+A(n)+A(n+1) ???
wäre das dann: 1+(2n+1)+(2(n+1)+1) ???
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Hallo...
Also nochmal von vorn
Ind.Anfang: n=0
==> [mm] A(0)=\summe_{k=0}^{0}(2k+1)= [/mm] 1 = (0+1)²
zum Ind.schluß, schreibe hin was A(n+1) ist und ziehe den letzten (n+1) Summanden aus der Summe....dann greift deine Ind.voraussetzung [mm] (A(n)=(n+1)^2)...nur [/mm] noch umstellen und schon hast du deine Behauptung
[mm] A(n+1)=\summe_{k=0}^{n+1}(2k+1)=\summe_{k=0}^{n}(2k+1)+(2(n+1)+1)=A(n)+(2n+3)=(n+1)^2+(2n+3)=n^2+4n+4=(n+2)^2
[/mm]
Tschüß sagt Röby
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