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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Di 23.10.2007 | | Autor: | Franzl |
| Aufgabe | Beweise mit der vollständigen Induktion:
[mm]n*\wurzel{n} > n+\wurzel{n}[/mm]
für alle n>2 [mm]\in\IN\sub[/mm]
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Hallo !
Könnte mir bitte jemand zeigen wie ich ab hier weiter mache?
Die vollständige Induktion mit normalen Folgen 1+2+3... +(2n-1) usw. habe ich "verstanden", aber diese Aufgabe...
[mm]n*\wurzel{n} > n+\wurzel{n}[/mm] für alle n>2 [mm]\in\IN\sub[/mm]
n > 2 [mm]\gdw n[/mm][mm] \ge [/mm] 3
IA: n=3; [mm]3*\wurzel{3}[/mm] >5>3+[mm]\wurzel{3}[/mm]
IV: Es gelte für ein beliebiges n [mm]\ge 3[/mm] [mm]\in\IN\sub[/mm]
[mm]n*\wurzel{n} >n+\wurzel{n}[/mm]
IS: dann gelte weiter
[mm](n+1)*\wurzel{(n+1)} > (n+1)+\wurzel{(n+1)}[/mm]
[mm]n*\wurzel{(n+1)}+\wurzel{(n+1)} > (n+1)+\wurzel{(n+1)}[/mm]
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Vielen Dank
Franzl
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Di 23.10.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Franzl und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Meistens ist es Sinnvoller, eine Gleichungskette zu erstellen.
Also:
[mm] (n+1)*\wurzel{n+1}
[/mm]
[mm] =n\wurzel{n+1}+\wurzel{n+1}
[/mm]
[mm] >n\wurzel{n}+\wurzel{n+1} [/mm] (n+1>n, also auch die Wurzel daraus)
[mm] >n+\wurzel{n}+\wurzel{n+1} [/mm] (Nach Ind.-Vorauss.)
[mm] >n+1+\wurzel{n+1} [/mm] (da [mm] \wurzel{n}>1 [/mm] für alle n>2)
[mm] =(n+1)+\wurzel{n+1}
[/mm]
Und genau das war zu zeigen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Di 23.10.2007 | | Autor: | Franzl |
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Grüße
Franzl
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