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| Aufgabe | Beweise durch vollständige Induktion
[mm] 2^{n}>n² [/mm] |
Hallo zusammen!
IA: für [mm] n\ge5 [/mm] => 32>25 stimmt die Induktionsvorraussetzugng
IS: [mm] 2^{n+1}>(n+1)^2
[/mm]
[mm] 2^{n}*2>n²+2n+1
[/mm]
und das war's dann auch so ziemlich... :(
in der Lösung steht [mm] 2^{n+1}>n² [/mm] <- aber wie man auf das kommen soll ?
Vielleicht weiß einer von euch wie man das beweist..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Do 14.12.2006 | | Autor: | riwe |
das gilt ja lt. IV
[mm] 2^{n}*2>2\cdot n^{2}=n^{2}+n^{2}>n^{2}+2n+1
[/mm]
(für n>4)
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Hi!
Das n²+n²=2n² ist, das weiß ich .hehe
Aber ich versteh nicht wie man von (n+1)²=2n² kommt
man setzt doch einfach für n : n+1 ein ?Also so wie ich es geschrieben habe,
woher kommt dann 2n² anstatt n²+2n+1. ?
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Hallo.
Induktionsanfang stimmt, der Schluss aber nicht
IS n-->n+1
[mm] 2^{n+1}=2*2^{n}
[/mm]
nach IV [mm] 2^{n}>n^2
[/mm]
[mm] 2*2^{n}>2*n^2=n^{2}+n^{2}
[/mm]
weiter verkleinern [mm] n^{2}>3n
[/mm]
[mm] n^{2}+n^{2}>n^{2}+3n
[/mm]
weiter verkleinern n>1
[mm] n^{2}+3n>n^{2}+2n+1=(n+1)^2
[/mm]
also zusammen
[mm] 2^{n+1}>(n+1)^2 [/mm] q.e.d.
Das wars.
Tschüß und alles Gute wünscht Röby
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Gerade beantwortet, siehe unten.
Tschüü
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