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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 So 22.10.2006 | | Autor: | Schmidtl |
Hi,
ich habe folgende Behauptung: 2n [mm] \le 2^{n} [/mm] . Diese soll ich durch vollständige Induktion beweisen. Leider kann ich dies aber nur erfolgreich mit Gleichungen, nicht mit Ungleichungen und werde aus den Beispielen im Netz nicht schlau.
:::Lösungsansatz:::
Induktionsanfang:
n = 1 --> 2 [mm] \le [/mm] 2 wahre Aussage
Induktionsannahme:
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] (2n [mm] \le 2^{n})
[/mm]
Induktionsbehauptung:
2(n+1) [mm] \le 2^{n+1}
[/mm]
Indutkionsbeweis:
=> 2(n+1) [mm] \le 2^{n+1} [/mm] //Ausmultiplizieren
=> 2n + 2 [mm] \le 2^{n} [/mm] * 2 //mit 2 dividiert
=> n + 1 [mm] \le 2^{n}
[/mm]
!!PROBLEM!!
Ab jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Wie komme ich zu einer Lösung??? Weil hier sieht ja niemand, dass die linke Seite immer kleiner gleich der rechten Seite ist. Habe ich vorher schon einen Fehler?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 So 22.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hi,
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> ich habe folgende Behauptung: 2n [mm]\le 2^{n}[/mm] . Diese soll ich
> durch vollständige Induktion beweisen. Leider kann ich dies
> aber nur erfolgreich mit Gleichungen, nicht mit
> Ungleichungen und werde aus den Beispielen im Netz nicht
> schlau.
>
> :::Lösungsansatz:::
>
> Induktionsanfang:
> n = 1 --> 2 [mm]\re[/mm] 2 wahre Aussage
Korrekt
>
> Induktionsannahme:
> [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] (2n [mm]\le 2^{n})[/mm]
>
Warum plötzlich die Summe?
> Induktionsbehauptung:
> 2(n+1) [mm]\le 2^{n+1}[/mm]
Zum Beweis.
[mm] 2^{n+1}=2^{n}*2\underbrace{\ge}_{Ind-Ann.}2n*2=2(n+1)
[/mm]
Marius
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