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Hallo
Hab folgendes Problem :
Zeigen sie mit vollständiger Induktion das
[mm] f(x)=\bruch{x-2}{ e^{x}} f^{(n)}(x)=(-1)^{n}*\bruch{x-2-n}{e^{x}}
[/mm]
Induktions anfang für n=0 ist klar
Aber was ist hier meine Induktionsannahme oder besser gesagt wie kann ich diese in eine Gleichung packen???
Für den Induktionsschritt für n=n+1 müßte so was ähnliches rauskommen wie
[mm] f^{(n+1)}(x)=(-1)^{n+1}* \bruch{x-2-(n+1)}{e^{x}}
[/mm]
Meine zweite Frage wäre darf ich das [mm] f^{(n+1)}(x) [/mm] aufspalten in
[mm] f^{(n)}(x) [/mm] *? [mm] f^{(1)}(x) [/mm] um die Annahme einzubauen?? wenn ja wie sind die beiden Funktionen miteinander verknüpft???
Danke Stevo
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Hallo Stevo!
> Induktions anfang für n=0 ist klar
Naja, ich selber hätte da erst mit $n \ = \ [mm] \red{1}$ [/mm] gestartet, aber das ist egal hier!
> Für den Induktionsschritt für n=n+1 müßte so was ähnliches
> rauskommen wie
> [mm]f^{(n+1)}(x)=(-1)^{n+1}* \bruch{x-2-(n+1)}{e^{x}}[/mm]
Nicht nur sowas ähnliches ... genau das! 
> wenn ja wie sind die beiden Funktionen miteinander verknüpft???
Wie aufspalten? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Wie sind denn z.B. $f'(x)_$ und $f''(x)_$ miteinander verbunden bzw. wie kann ich denn $f''(x)_$ aus $f'(x)_$ erhalten?
Richtig, ich muss $f'(x)_$ ableiten, um $f''(x)_$ zu erhalten.
Und genau so funktioniert dann der Induktionsschritt. Nimm [mm] $f^{(n)}(x)$ [/mm] und bilde davon die Ableitung, und dann sollte die Induktionsbehauptung herauskommen.
Tipp: [mm] $(-1)^n [/mm] * [mm] \bruch{x-2-n}{e^x} [/mm] \ = \ [mm] (-1)^n [/mm] * [mm] (x-2-n)*e^{-x}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Danke für den Tip
Mit der Ableitung kommt die Annahme heraus und damit wäre der Beweis schon vollständig ??????
Danke
Stevo
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Hallo Stevo!
> Mit der Ableitung kommt die Annahme heraus und damit wäre
> der Beweis schon vollständig ??????
Streng genommen, ist das die Induktionsbehauptung, die da herauskommen sollte.
Aber richtig: nun bist Du fertig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß vom
Roadrunner
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