Vollständige Ind. Folgerung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Di 01.11.2011 | | Autor: | Ganz |
Hallo, ich soll zeigen:
Seien n Element der natürlichen Zahlen und [mm] x_{1},x_{2},...,x_{n}
[/mm]
positive reelle Zahlen.
[mm] \produkt_{k=1}^{n} x_{k} [/mm] =1 [mm] \Rightarrow \summe_{k=1}^{n} x_{k}\ge [/mm] n
Als Hinweis ist angegeben, dass man dies mit vollständiger Induktion machen sol.lBeim Schluss von n auf n+1 sei [mm] x_{n} [/mm] die kleinste und [mm] x_{n+1} [/mm] die größte der Zahlen [mm] x_{k}. [/mm] Dann wende man die Induktionsvoraussetzung auf [mm] {x_{1}, ...,x_{n-1},x_{n},x_{n+1}} [/mm] an. Was können Sie über die Zahlen [mm] x_{n}, x_{n+1} [/mm] aus der Produkteigenschaft ableiten?
Irgendwie kriege ich das bei dieser Aufgabe gar nicht hin. Ich mein, wenn ich hier die vollst. Induktion anwenden soll, ist dass wie sonst auch oder anders wegen dem Folgepfeil?? Soll ich die Seiten unabhängig voneinander btrachten oder nicht??
Der Ianf. lautet doch
[mm] \produkt_{k=1}^{1} x_{1} [/mm] =1 [mm] \Rightarrow \summe_{k=1}^{1} x_{1}\ge [/mm] 1 Was ja auch stimmt, aber wieso folgert das eine das andere??
Ischr.: [mm] \produkt_{k=1}^{n+1} x_{k} [/mm] =1 [mm] \Rightarrow \summe_{k=1}^{n+1} x_{k}\ge [/mm] n+1
Ich weiß jetzt nicht wie ich die IV benutzen soll oder den Hinweis.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Di 01.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Es gilt:
[mm] \produkt_{k=1}^{n+1}x_{k} [/mm]
[mm] x_{n+1}\cdot\underbrace{\produkt_{k=1}^{n}x_{k}}_{=1, nach Ind-Vor.} [/mm]
Beachte:
[mm] x_{n+1}\in\IZ^{+}
[/mm]
Marius
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:19 Di 01.11.2011 | | Autor: | Ganz |
Hallo, vielen Dank.
Also mir ist schon bewusst wie ich das Produkt oder die Summe abspalten soll, um dann die IV zu benutzen. Was mir nicht klar ist, dass
wenn ich jetzt
[mm] x_{n+1} \produkt_{k=1}^{n} x_{k} \Rightarrow \summe_{i=1}^{n} x_{k}+x_{k+1}\ge [/mm] n+1
Nach Ind. Vor. gilt
[mm] x_{n+1} \Rightarrow \summe_{i=1}^{n+1} x_{k+1}\ge [/mm] n* [mm] x_{k+1} \ge [/mm] n+1
So jetzt weiß ich nicht mehr weiter, links kann ich doch nichts weiter umformen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Do 03.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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