Vollständig differenzierbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Fr 07.06.2013 | | Autor: | Helicase |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] gegeben durch f(x,y) = [mm] \wurzel{x^{4} + y^{4}}.
[/mm]
a) Existieren die partiellen Ableitungen [mm] f_{x} [/mm] und [mm] f_{y} [/mm] im Nullpunkt?
b) Ist f im Nullpunkt vollständig differenzierbar? |
Hallo Forum,
meine Rechnung zu a):
Definition partielle Ableitung: [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f(a + te_{i}) - f(a)}{t}
[/mm]
[mm] f_{x} [/mm] (0,0) = [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{{f(\vektor{0 \\ 0}} + t*\vektor{1 \\ 0}) - f(\vektor{0 \\ 0})}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f\vektor{t \\ 0}}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{t^{4}}}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0} [/mm] t = 0
analog für [mm] f_{y} [/mm] (0,0)
also [mm] f_{x} [/mm] (0,0) = [mm] f_{y} [/mm] (0,0) = 0.
b)
Ich nehme an vollständig differenzierbar bedeutet total differenzierbar:
[mm] \limes_{||h||\rightarrow 0} \bruch{f(\vektor{0 \\ 0}+\vektor{h_{1} \\ h_{2}}) - f\vektor{0 \\ 0} - (0,0)*\vektor{h_{1} - 0 \\ h_{2} - 0}}{||h||} [/mm] = [mm] \limes_{||h||\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{h_{1}^{4} + h_{2}^{4}}}{\wurzel{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}}}
[/mm]
Jetzt steh ich auf dem Schlauch, wie kann ich das vereinfachen bzw. ist das überhaupt richtig soweit ?
Danke.
Gruß Helicase
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:05 Sa 08.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm] gegeben durch f(x,y) = [mm]\wurzel{x^{4} + y^{4}}.[/mm]
>
> a) Existieren die partiellen Ableitungen [mm]f_{x}[/mm] und [mm]f_{y}[/mm] im
> Nullpunkt?
> b) Ist f im Nullpunkt vollständig differenzierbar?
> Hallo Forum,
>
> meine Rechnung zu a):
>
> Definition partielle Ableitung: [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f(a + te_{i}) - f(a)}{t}[/mm]
>
> [mm]f_{x}[/mm] (0,0) = [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{{f(\vektor{0 \\ 0}} + t*\vektor{1 \\ 0}) - f(\vektor{0 \\ 0})}{t}[/mm]
> = [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f\vektor{t \\ 0}}{t}[/mm] =
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{t^{4}}}{t}[/mm] =
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0}[/mm] t = 0
>
> analog für [mm]f_{y}[/mm] (0,0)
>
> also [mm]f_{x}[/mm] (0,0) = [mm]f_{y}[/mm] (0,0) = 0.
O.K.
>
> b)
>
> Ich nehme an vollständig differenzierbar bedeutet total
> differenzierbar:
Ja
>
> [mm]\limes_{||h||\rightarrow 0} \bruch{f(\vektor{0 \\ 0}+\vektor{h_{1} \\ h_{2}}) - f\vektor{0 \\ 0} - (0,0)*\vektor{h_{1} - 0 \\ h_{2} - 0}}{||h||}[/mm]
> = [mm]\limes_{||h||\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{h_{1}^{4} + h_{2}^{4}}}{\wurzel{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}}}[/mm]
Überlege Dir dass
[mm] \bruch{\wurzel{h_{1}^{4} + h_{2}^{4}}}{\wurzel{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}}} \le \wurzel{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}}
[/mm]
gilt
FRED
>
> Jetzt steh ich auf dem Schlauch, wie kann ich das
> vereinfachen bzw. ist das überhaupt richtig soweit ?
>
> Danke.
>
> Gruß Helicase
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 So 09.06.2013 | | Autor: | Helicase |
[mm] \wurzel{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}} [/mm] ist ja wieder die Norm, also ||h||.
Für [mm] (h_{1},h_{2}) [/mm] geht die Wurzel somit gegen Null.
Also hab ich eine Abschätzung nach.
Bräuchte ich jetzt nicht eine nach unten, um mit dem Einschließungskriterium zu schlussfolgern, dass mein eigentlicher Grenzwert Null ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 So 09.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\wurzel{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}}[/mm] ist ja wieder die Norm, also
> ||h||.
> Für [mm](h_{1},h_{2})[/mm] geht die Wurzel somit gegen Null.
> Also hab ich eine Abschätzung nach.
> Bräuchte ich jetzt nicht eine nach unten, um mit dem
> Einschließungskriterium zu schlussfolgern, dass mein
> eigentlicher Grenzwert Null ist?
Du hast doch
0 [mm] \le [/mm] $ [mm] \bruch{|f(\vektor{0 \\ 0}+\vektor{h_{1} \\ h_{2}}) - f\vektor{0 \\ 0} - (0,0)\cdot{}\vektor{h_{1} - 0 \\ h_{2} - 0}|}{||h||} [/mm] $
= [mm] $\bruch{\wurzel{h_{1}^{4} + h_{2}^{4}}}{\wurzel{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}}} [/mm] $ [mm] \le \wurzel{h_{1}^{2} + h_{2}^{2}}
[/mm]
FRED
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