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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Vollständig Induktion Ungleich
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Vollständig Induktion Ungleich: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:03 Do 08.11.2007
Autor: muy

Aufgabe
Beweisen sie durch vollständige Induktion, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 3 gilt
n² > 2n + 1.

Auf die Gefahr hin, dass ich mich hier damit blamiere, mein Lösungsansatz...

I Der Anfang: n=3
3² > 2*3 + 1 = 9 > 7

Zu zeigen: gilt für n+1.

(n+1)² > 2(n+1)+1

Ab hier war es mehr Verzweiflung als Überlegung.

n²+2n+1 > 2n+2+1  | -2n | -1 ...

n² > 2

Ja...irgendwie hab ich das Gefühl, dass ich das Prinzip der vollständigen Induktion bei Ungleichungen nicht ganz verstanden hab.



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Vollständig Induktion Ungleich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:33 Do 08.11.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Paul,


> Beweisen sie durch vollständige Induktion, dass für alle n
> [mm]\in \IN[/mm] mit n [mm]\ge[/mm] 3 gilt
>  n² > 2n + 1.

>  Auf die Gefahr hin, dass ich mich hier damit blamiere,
> mein Lösungsansatz...
>  
> I Der Anfang: n=3
>  3² > 2*3 + 1 = 9 > 7 [ok]

Hier schiebe mal die Induktionsvoraussetzung ein:

Sei [mm] $n\in\IN, [/mm] n>3$ und gelte [mm] $n^2>2n+1$ [/mm]

> Zu zeigen: gilt für n+1.
>  
> (n+1)² > 2(n+1)+1 [ok]
>  
> Ab hier war es mehr Verzweiflung als Überlegung.
>  
> n²+2n+1 > 2n+2+1  | -2n | -1 ...
>  
> n² > 2
>  
> Ja...irgendwie hab ich das Gefühl, dass ich das Prinzip der
> vollständigen Induktion bei Ungleichungen nicht ganz
> verstanden hab.

Nimm dir die linke Seite der zu zeigenden Abschätzung her und bastel mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung die rechte Seite hin.

Also wir wollen zeigen, dass unter der Ind.vor auch gilt: [mm] $(n+1)^2>2(n+1)+1$ [/mm]

Es ist [mm] $(n+1)^2=\red{n^2}+2n+1>\red{(2n+1)}+2n+1$ [/mm] nach Induktonsvoraussetzung gilt diese Abschätzung für die roten Terme

[mm] $=(2n+2)+\blue{2n}$ [/mm]  Nun ist [mm] $n\ge [/mm] 3$ also ist $2n$ sicher $>1$

Also [mm] $=(2n+2)+\blue{2n}>(2n+2)+\blue{1}=2n+3=2(n+1)+1$ [/mm]

Und genau das wollten wir haben...


Hoffe, das war nicht zu sehr klein-klein ;-)


Lieben Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Vollständig Induktion Ungleich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:52 Mo 12.11.2007
Autor: muy

Hat ein wenig gedauert bis ich durchgestiegen bin aber war eine super Lösung, danke. ;)
Bezug
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