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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Do 30.10.2008 | | Autor: | Trilax |
Hallo an alle,
Ich soll beweisen, dass
Σ[k=1 bis n] [mm] (-1)^k-1 [/mm] * k² = [mm] (-1)^n-1 [/mm] * n(n+1)/2
Ich weiß, dass folgendes am Ende rauskommen soll:
[mm] (-1)^n* [/mm] (n+1)(n+2)/2
nach der Induktionsverankerung sieht mein Term folgendermaßen aus:
[mm] (-1)^n* [/mm] (n+1)(n+2)/2 + [mm] (-1)^n [/mm] + (n+1)²
Ich hab schon ein paar mal rumgerechnet, komme aber nicht auf das Ergebnis. Bitte helft mir!
Gruß
Trilax
PS.:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Trilax,
puh, das ist ja furchtbar zu lesen, benutze dóch bitte unseren Formeleditor, Exponenten, die mehr als 1 Zeichen lang sind, musst du in geschweifte Klammern {} schreiben.
Klicke auch mal auf meine Formeln, dann wird angezeigt, wie du sie eingeben kannst
zz.: [mm] $\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k-1}\cdot{}k^2=(-1)^{n-1}\cdot{}\frac{n(n+1)}{2}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$
[/mm]
Induktionsschritt: [mm] $n\to [/mm] n+1$
Induktionsvoraussetzung: blabla ... selber hinschreiben 
Dann ist:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{n+1}(-1)^{k-1}\cdot{}k^2=\left(\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k-1}\cdot{}k^2\right)+(-1)^{n+1-1}\cdot{}(n+1)^2$
[/mm]
da habe ich nur den letzten Summanden, also den für $k=n+1$ "rausgezogen" und hinten drangeschrieben
[mm] $=\underbrace{(-1)^{n-1}\cdot{}\frac{n(n+1)}{2}}_{\text{nach Induktionsvoraussetzung}}+(-1)^{n}\cdot{}(n+1)^2$
[/mm]
Hier klammere mal [mm] $(-1)^{n-1}\cdot{}(n+1)$ [/mm] aus, dann solltest du doch in Windeseile zum Ziel kommen ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Do 30.10.2008 | | Autor: | Trilax |
Vielen Dank für die Antwort.
Ich versuche das jetzt mal mti dem Formeleditor...
Ich hab schon geahnt, dass ich das ausklammern muss, nur komme ich dann wenn ich $ [mm] (-1)^{n-1}\cdot{}(n+1) [/mm] $ ausklammer,auf folgenden term:
$ [mm] (-1)^{n-1}\cdot{}(n+1) $*(\bruch{n}{2} [/mm] + [mm] (-1)^{-1}*(n+1))
[/mm]
Ich nehme an, dass hier schon mein Fehler versteckt ist. Vermutlich scheiterts bei mir wieder mal an den Potenzgesetzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 Do 30.10.2008 | | Autor: | Trilax |
habs doch nciht gelöst :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Do 30.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für die Antwort.
> Ich versuche das jetzt mal mti dem Formeleditor...
> Ich hab schon geahnt, dass ich das ausklammern muss, nur
> komme ich dann wenn ich [mm](-1)^{n-1}\cdot{}(n+1)[/mm]
> ausklammer,auf folgenden term:
>
> [mm](-1)^{n-1}\cdot{}(n+1)[/mm][mm] *(\bruch{n}{2}[/mm] + [mm](-1)^{-1}*(n+1))[/mm]
ich rechne mal da weiter, wo Schachuzipus aufgehört hat:
$$ [mm] =\underbrace{(-1)^{n-1}\cdot{}\frac{n(n+1)}{2}}_{\text{nach Induktionsvoraussetzung}}+\underbrace{(-1)^{n}}_{=(-1)^{n-1}*(-1)}\cdot{}(n+1)^2= [/mm] $$
$$ [mm] =(-1)^{n-1}*(n+1)*\left\{\frac{n}{2}-(n+1)\right\}$$ [/mm]
[mm] $$=(-1)^{n-1}*(n+1)*\frac{-n-2}{2}$$
[/mm]
[mm] $$=(-1)^{n-1}*(n+1)*(-1)\frac{n+2}{2}$$
[/mm]
[mm] $$=(-1)^n*(n+1)*\frac{n+2}{2}\,.$$
[/mm]
Das letztstehende ist ersichtlich das gleiche wie [mm] $(-1)^{\tilde{n}-1}\cdot{}\frac{\tilde{n}(\tilde{n}+1)}{2}$, [/mm] wenn man dort [mm] $\tilde{n}=n+1$ [/mm] einsetzt.
Gruß,
Marcel
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