Visualisierung Spektren < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei [mm] R = k[x,y]/(x^2-y^3) [/mm]. Es gibt einen Isomorphismus [mm] R \cong k[t^2,t^3] [/mm]. Benutze die Technik der Lokalisierung, um eine vollständige Beschreibung von Spec R zu geben (Tipp:lokalisiere alle involvierten Ringe am Primideal, welches dem Nullpunkt entspricht) |
hi,
mir geht's weniger um die Aufgabe, sondern mehr um den Tipp. Woher weiß ich welches Primideal dem Nullpunkt entspricht. Soweit ich weiß entsprechen Primideale Punkten und maximal Idealen abgeschlossenen Punkten. Aber wie ich Spektren allgemein visualisiere und damit den Primidealen Punkten zuordne, verstehe ich noch nicht. Dazu noch ein Beispiel Spec [mm] \IZ [/mm] lässt sich laut Internet durch eine gerade sowie einen dickeren Nullpunkt visualisieren. Wodurch kommt diese Visualisierung zustande?
Danke schonmal
|
|
| |
|
> Soweit ich weiß entsprechen Primideale Punkten
> und maximal Idealen abgeschlossenen Punkten. Aber wie ich
> Spektren allgemein visualisiere und damit den Primidealen
> Punkten zuordne, verstehe ich noch nicht. Dazu noch ein
> Beispiel Spec [mm]\IZ[/mm] lässt sich laut Internet durch eine
> gerade sowie einen dickeren Nullpunkt visualisieren.
> Wodurch kommt diese Visualisierung zustande?
Ich beziehe mich mal nur auf [mm] $\IZ$. [/mm] Die Primideale sind bekanntlich von der Form [mm] $p\IZ$ [/mm] wobei $p=0$ oder $p$ prim. Da [mm] $\IZ/p$ [/mm] für $p$ prim ein Körper ist und [mm] $p\IZ$ [/mm] somit maximal ist, liegen diese Primideale sozusagen diskret und relativ weit voneinander entfernt. Hingegen ist der Abschluss vom Nullideal das ganze Spektrum, denn es gilt ja bekanntlich [mm] $\bar{\{\mathfrak{p}\}}=V(\mathfrak{p})$. [/mm] Somit ist jeder Punkt des Spektrums ein Berührpunkt von [mm] $\{0\IZ\}$, [/mm] deswegen "verschmiert" man den Punkt [mm] $\{0\}$ [/mm] zu einer Geraden, die alle anderen Punkte berührt. Man nennt [mm] $\{0\}$ [/mm] auch einen generischen Punkt. Einen solchen gibt es allgemeiner genau dann, wenn das Nilradikal des Ringes prim ist. Zum Beispiel ist das in Integritätsringen der Fall, wobei das Nilradikal natürlich durch das Nullideal gegeben ist.
Für ein paar Tipps, die sich näher an dem Ring aus deiner Originalaufgabe orientieren (der sehr von [mm] $\IZ$ [/mm] verschieden ist!) siehe z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier.
Ein paar Beispiele für Bilder von Spektren findet man im Red Book (ab S.72).
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
Vielen Dank, das hat mir auf jeden Fall geholfen. Demenstprchend würde dann das Primideal bzw. Maximalideal [mm](t^2-0,t^3-0) [/mm] dem Nullpunkt enstprechen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 Sa 06.06.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Vielen Dank, das hat mir auf jeden Fall geholfen.
> Demenstprchend würde dann das Primideal bzw. Maximalideal
> [mm](t^2-0,t^3-0)[/mm] dem Nullpunkt enstprechen?
In [mm] $k[t^2, t^3]$ [/mm] schon, in $R$ dagegen das Ideal, welches von den Restklassen von $x$ und $y$ erzeugt wird.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Fr 05.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
