Vier Gleichverteilungen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind zwei Punkte P und Q. [mm] P=(X_1,Y_1), Q=(X_2,Y_2) [/mm] und [mm] d(P,Q)=\sqrt{(X_1-X_2)^2+(Y_1-Y_2)^2}.
[/mm]
Gesucht ist der Erwartungswert von d(P,Q) (gefragt wäre nur ob er größer, kleiner oder gleich 1 ist)
Alle 4 Zufallsvariablen sind gleichverteilt. [mm] X_1, Y_1 [/mm] und [mm] Y_2 [/mm] auf (0,1), [mm] X_2 [/mm] auf (1,2). |
Ich kann [mm] E[d(P,Q)^2] [/mm] bestimmen. Das geht mit Hilfe der Linearität des Erwartungswerts und des zweiten Moments einer Gleichverteilung. Da komme ich auf [mm] \frac{4}{3}.
[/mm]
Das lässt natürlich E[d(P,Q)]>1 vermuten, aber wie kann ich den Erwartungswert der Wurzel explizit ausrechnen?
Ich bräcuhte dazu doch die Verteilung von [mm] \sqrt{(X_1-X_2)^2+(Y_1-Y_2)^2}. [/mm] Die Differenz lässt sich eventuell noch hinkriegen (Dreiecksfunktion), aber die Verteilung des gesamten Ausdrucks...???
Gibt es da einen anderen Weg zu argumentieren?
Vielen Dank im Voraus!
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Im Prinzip musst du ein Vierfachintegral berechnen. Eventuell gibt es jeweils eine geschickte Substitution, mit der sich Quadrat und Wurzel wegheben (hab jetzt nicht weiter gerechnet)...
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Danke erstmal.
Wäre dann der Ansatz
[mm] \int _0^1\int _1^2\int _0^1\int _0^1\sqrt{\left(x_1-x_2\right){}^2+\left(y_1-y_2\right){}^2}dx_1dx_2dy_1dy_2
[/mm]
richtig?
Dann würde ich mir nämlich überlegen wie man das geschickt umformen und substituieren kann.
Mathematica spuckt (nach ziemlich langem Rechnen) einen Ausdruck mit Arcussinus- und Arcoscosinus-Hyperbolicus-Termen aus, der knapp größer als 1 ist. Könnte also passen.
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Sieht gut aus. Mir ist noch eine Idee eingefallen: Du könntest zeigen, dass für beliebige [mm]x,y \in \IR^2[/mm] gilt:
[mm]\wurzel{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2} \ge \bruch{|x_1-y_1| + |x_2-y_2|}{\wurzel{2}}[/mm]
Dann kann man das Integral damit nach unten abschätzen. Allerdings ist die Abschätzung nicht sehr scharf und reicht vielleicht nicht ganz hin (hab's nicht durchgerechnet).
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 Do 10.04.2008 | | Autor: | chimneytop |
Danke. Werds mir gleich überlegen.
Hab selber noch eine andere Idee, die das Integral wesentlich vereinfacht: Ungleichung von Hölder. Muss es aber noch durchrechnen.
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Geht sich leider nicht ganz aus:
Sei I der Wert des Integrals. Dann kann ich mit meiner und deiner Abschätzung zeigen:
[mm] \bruch{2\sqrt{2}}{3}
0.942...<I<1.1547...
Das lässt für I immer noch Werte < und > 1 zu.
Gruß
Martin
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Hab hier ein bisschen VBA-Code, der das empirisch angeht - der Wert liegt demnach so bei 1,088. Kannst du einfach kopieren und mit Excel laufen lassen - musst nur mit ALT+F11 den Editor öffnen, im Projektfenster links ein Tabellenblatt auswählen (Doppelklick) und den Code einfügen. Mit F5 ausführen lassen. Hab auf Kommentare verzichtet, ist ziemlich selbsterklärend (hoffe ich...). Die Konstante Lauf gibt die Anzahl der Durchläufe und ist schon ziemlich groß, Maximum wäre glaub ich [mm]2^{32}-1[/mm].
Public Sub Abstand()
Dim x(2) As Double, y(2) As Double, i As Long, Zuf As Double, _
Dif As Double, Summe As Double, Mittel As Double
Const Lauf = 2 ^ 24
Dif = 0
Summe = 0
Mittel = 0
Randomize
For i = 1 To Lauf
x(1) = Rnd()
x(2) = Rnd() + 1
y(1) = Rnd()
y(2) = Rnd()
Dif = Sqr((x(1) - y(1)) ^ 2 + (x(2) - y(2)) ^ 2)
Summe = Summe + Dif
Next i
Mittel = Summe / Lauf
MsgBox Mittel
End Sub
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:55 Fr 18.04.2008 | | Autor: | chimneytop |
Vielen Dank!
Hab die Abschätzung > 1 jetzt hingebracht. War eigentlich ziemlich einfach. Man verwende bloß [mm] (y1-y2)^2 [/mm] > 0.
Grüße
Martin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Fr 18.04.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Martin,
> Vielen Dank!
>
> Hab die Abschätzung > 1 jetzt hingebracht. War eigentlich
> ziemlich einfach. Man verwende bloß [mm](y1-y2)^2[/mm] > 0.
>
Kannst du mich einmal aufklaeren, wie's geht? Bin neugierig.
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:08 Mi 09.04.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin,
sind die Zufallsvariablen unabhaengig?
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:58 Do 10.04.2008 | | Autor: | chimneytop |
Ja, sie sind u.a.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:57 Fr 18.04.2008 | | Autor: | chimneytop |
Beispiel ist gelöst (Abschätzung mit Hilfe von [mm] (y1-y2)^2>0 [/mm] führt auf Wert > 1).
Danke!
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