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| Aufgabe | Sei [mm] n\in\IN>0 [/mm] und [mm] M\in Mn(\IQ) [/mm] eine Matrix mit [mm] M^3 [/mm] - [mm] 2E_{n} [/mm] = 0
(a) Zeigen Sie, dass n ein Vielfaches von 3 ist. |
Meine Idee ist nun die folgende:
Da ich zeigen muss das es ein Vielfaches von 3 ist, muss gelten:
[mm] M\inM_{3n}(\IQ) [/mm] mit [mm] M^3 [/mm] - [mm] 2E_{3n} [/mm] = 0
Dies will ich nun mit vollständiger Induktion zeigen.
(I.A.) Für n=1 Ist klar da mein so eine Matrix finden kann für die das gilt
(I.V.) [mm] M^3-2E_{3n}
[/mm]
(I.S.) n nach n+1
[mm] M\inM_{3(n+1)}(\IQ) [/mm] mit [mm] M^3 [/mm] - [mm] 2E_{3(n+1)}
[/mm]
[mm] M\inM_{3n+3}(\IQ) [/mm] mit [mm] M^3 [/mm] - [mm] 2E_{3n+3}
[/mm]
und jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Ich weiß nicht wie ich meine I.V. verwenden kann.
Ist den mein Ansatz überhaupt richtig so?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Mo 03.06.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]n\in\IN>0[/mm] und [mm]M\in Mn(\IQ)[/mm] eine Matrix mit [mm]M^3[/mm] - [mm]2E_{n}[/mm]
> = 0
>
> (a) Zeigen Sie, dass n ein Vielfaches von 3 ist.
> Meine Idee ist nun die folgende:
>
> Da ich zeigen muss das es ein Vielfaches von 3 ist, muss
> gelten:
> [mm]M\inM_{3n}(\IQ)[/mm] mit [mm]M^3[/mm] - [mm]2E_{3n}[/mm] = 0
> Dies will ich nun mit vollständiger Induktion zeigen.
Was hat das mit der Aufgabe zu tun? Und was willst du da "zeigen"?
Du musst zeigen: ist $M [mm] \in M_n(\IQ)$ [/mm] eine Matrix mit [mm] $M^3 [/mm] - 2 [mm] E_n [/mm] = 0$, so ist $n$ ein Vielfaches von 3.
Du nimmst also an, dass $M$ eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix mit Koeffizienten aus [mm] $\IQ$ [/mm] ist, die [mm] $M^3 [/mm] = 2 [mm] E_n$ [/mm] erfuellt. Was kannst du jetzt ueber das Minimalpolynom von $M$ sagen? Was bedeutet das fuer die Diagonalisierbarkeit ueber [mm] $\IC$? [/mm] Damit solltest du weitermachen.
LG Felix
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