Verteilungskonvergenz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:38 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Johie |
| Aufgabe | Betrachte eine Folge normalverteilter Zufallsvariablen [mm] X_n [/mm] ~ [mm] N(\mu_n, \sigma_n^2) [/mm] wobei die Folge der Erwartungswerte und Standardabweichungen konvergieren:
[mm] \mu_n \to \mu, \sigma_n \to \sigma [/mm] mit n [mm] \to\infty
[/mm]
a) Es sei [mm] \sigma [/mm] >0 und X eine weitere Zufallsvariable mit [mm] X~N(\mu, \sigma^2). [/mm] Zeige [mm] N(\mu_n, \sigma_n^2) \to N(\mu,\sigma^2) [/mm] mit n [mm] \to\infty.
[/mm]
b) Es sei [mm] \sigma [/mm] =0 und X eine weitere Zufallsvariable mit [mm] X~Dirac(\mu). [/mm] Zeige [mm] N(\mu_n, \sigma_n^2) \to Dirac(\mu) [/mm] mit n [mm] \to \infty. [/mm] |
Hallo, habe hier schon wieder echt dolle Probleme :(
Also a) habe ich soweit schon gelöst, dass ging ja recht einach. Aber bei b) habe ich jetzt Schwierigkeiten.
Habe mir überlegt, da ich a) ja schon gezeigt habe, brauche ich bei b) ja nur noch zu zeigen, dass [mm] N(\mu, \sigma^2) \to Dirac(\mu) [/mm] mit [mm] X_0~N(\mu, \sigma^2)
[/mm]
Mein Problem besteht jetzt darin, dass ich nicht so genau weiß, was diese Dirac-Verteilung ist. Ich weiß schon mal soviel, dass sie zwischen 0 und 1 springt und somit der Indikatorfunktion des Intervalls [a, [mm] \infty) [/mm] genügt. Dass heißt ich kann diese aufstellen:
[mm] Fx(x)=\begin{cases} 0, ? \\ 1, ? \end{cases} [/mm]
Ja und hier weiß ich dann nicht, auf was sich das beziehen soll, eigentlich müsste es doch [mm] x<\mu [/mm] und [mm] x>=\mu [/mm] sein oder?
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 23:22 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Johie |
Also habe jetzt meinen Ansatz einfach mal aufgegriffen und es ausprobiert, wenn die Funktion richtig wäre, dann müsste das ganze doch dann so gehen:
[mm] F_x(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \ge \mu \\ 1, & \mbox{für } x < \mu \end{cases} \forall [/mm] x [mm] \in \IR
[/mm]
Normalverteilung:
[mm] F_x_0 (x)=\integral_{-\infty}^{\bruch{1}{\sigma}(x-\mu)}{\bruch{1}{\wurzel{2 \pi}} *e^{-\bruch{1}{2}z^2} dz}
[/mm]
Und das muss ich dann doch für die beiden Fälle prüfen:
1. Fall x < [mm] \mu [/mm]
(in diesem Fall geht dann [mm] \bruch{1}{\sigma}(x-\mu) \to -\infty)
[/mm]
[mm] \limes_{\sigma\rightarrow 0} F_x_0 [/mm] (x) = [mm] \limes_{\sigma\rightarrow 0} \integral_{-\infty}^{\bruch{1}{\sigma}(x-\mu)}{\bruch{1}{\wurzel{2 \pi}} *e^{-\bruch{1}{2}z^2} dz} [/mm]
= [mm] \integral_{-\infty}^{-\infty}{\bruch{1}{\wurzel{2 \pi}} *e^{-\bruch{1}{2}z^2} dz} [/mm] = 0
2. Fall x [mm] \ge \mu
[/mm]
(in diesem Fall geht dann [mm] \bruch{1}{\sigma}(x-\mu) \to \infty)
[/mm]
[mm] \limes_{\sigma\rightarrow 0} F_x_0 [/mm] (x) = [mm] \limes_{\sigma\rightarrow 0} \integral_{-\infty}^{\bruch{1}{\sigma}(x-\mu)}{\bruch{1}{\wurzel{2 \pi}} *e^{-\bruch{1}{2}z^2} dz} [/mm]
= [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{2 \pi}} *e^{-\bruch{1}{2}z^2} dz} [/mm] = ...
Eigentlich müsste es jetzt 1 ergeben, dann würde das bedeuten, dass die Normalverteilung gegen Dirac läuft oder nicht? Ist das eine Möglichkeit zur Lösung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mi 14.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mo 12.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
