Verteilungsfunktion bestimmen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:15 Mo 07.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei X exponentialverteilt mit Parameter [mm] \alpha>0.
[/mm]
Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von [mm] X^2. [/mm] |
Tag Leute,
also ich hab mir das wie folgt gedacht:
[mm] F_{X^2}(t)=P[X^2\le{t}]=P[|X|\le{\wurzel{t}}]=\begin{cases} P[X\le{\wurzel{t}}]\\ P[X\le{-\wurzel{t}}]\end{cases}=\begin{cases} F_X(\wurzel{t})\\ F_X(-\wurzel{t})\end{cases}=\begin{cases} 1-e^{-\alpha\cdot{}\wurzel{t}} & \text{für }t\ge{0}\\ 0 & \text{sonst }\end{cases}
[/mm]
Ich bin mir aber etwas unsicher, was die Auflösung des Betrags angeht bzw. welche Werte t annehmen kann.
Wär also toll, wenn mir jemand sagen könnte was ich noch verbessern muss bzw. wie ich das Ganze besser aufschreiben kann.
Vielen Dank schon mal!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:56 Di 08.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Du gehst mit dem Betrag falsch um !!
Es gilt:
$|X| [mm] \le \wurzel{t}$ \gdw $-\wurzel{t} \le [/mm] X [mm] \le \wurzel{t}$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:10 Di 08.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay dann hab ich also nun mit dem richtigen Umgang des Betrags
[mm] P[X\ge{-\wurzel{t}}]=1-P[X<-\wurzel{t}]=1-F_X(-\wurzel{t})=e^{\alpha\cdot{}\wurzel{t}}
[/mm]
Wie setz ich das nun aber richtig in meine Verteilungsfunktion ein??
[mm] e^{\alpha\cdot{}\wurzel{t}} [/mm] gilt ja auch nur für alle t>0, d.h. das kollidiert dann mit meinem [mm] 1-e^{-\alpha\cdot{}\wurzel{t}} [/mm] oder nicht??
Wär klasse, wenn mir jemand wieterhelfen könnt und meinen eventuellen Denkfehler aufklärt. Vielen Dank schon mal!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Do 10.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Di 08.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay ich glaub ich habs jetzt erst gerafft. Das heißt, wenn ich den Betrag gleich am Anfang richtig auflöse bekommem ich für meine Verteilungsfunktion folgendes:
[mm] F_{X^2}(t)=P[X^2\le{t}]=P[|X|\le{\wurzel{t}}]=P[-\wurzel{t}\le{X}\e{\wurzel{t}}]=F_X(\wurzel{t})-F_X(-\wurzel{t})=1-e^{-\alpha\cdot{}\wurzel{t}}-(1-e^{-\alpha\cdot{}-\wurzel{t}})=e^{\alpha\cdot{}\wurzel{t}}-e^{-\alpha\cdot{}\wurzel{t}}, \text{für }t\ge{0}
[/mm]
Jetzt ist nur noch die Frage, was für t<0 passiert!
Muss ich mir das einfach so überlegen oder wie mach ich das für den Fall t<0??
Vielen Dank schon mal!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Di 08.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Okay ich glaub ich habs jetzt erst gerafft. Das heißt,
> wenn ich den Betrag gleich am Anfang richtig auflöse
> bekommem ich für meine Verteilungsfunktion folgendes:
>
> [mm]F_{X^2}(t)=P[X^2\le{t}]=P[|X|\le{\wurzel{t}}]=P[-\wurzel{t}\le{X}\e{\wurzel{t}}]=F_X(\wurzel{t})-F_X(-\wurzel{t})=1-e^{-\alpha\cdot{}\wurzel{t}}-(1-e^{-\alpha\cdot{}-\wurzel{t}})=e^{\alpha\cdot{}\wurzel{t}}-e^{-\alpha\cdot{}\wurzel{t}}, \text{für }t\ge{0}[/mm]
>
>
> Jetzt ist nur noch die Frage, was für t<0 passiert!
> Muss ich mir das einfach so überlegen oder wie mach ich
> das für den Fall t<0??
> Vielen Dank schon mal!!
Es ist doch [mm] X^2 \ge [/mm] 0, also ist für t<0: [mm] P[X^2\le{t}]= P(\emptyset) [/mm] = ????
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Di 08.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Achso okay, na dann herzlichen Dank.
Achja war eigentlich meine Verteilungsfunktion zumindest für t>0 korrekt??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Di 08.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Achso okay, na dann herzlichen Dank.
>
> Achja war eigentlich meine Verteilungsfunktion zumindest
> für t>0 korrekt??
Sieht gut aus
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:39 Di 08.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Dank dir!!
|
|
|
|
