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| Aufgabe | Seien X und Y unabhängige und identisch gleichverteilte auf [0,a]. Sei U=min(X,Y) und V=max(X,Y).
Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von U, den Erwartungswert von U und von V sowie die Kovarianz Cor(U,V). |
Hi,
Also bis her habe ich folgende Ergebnisse, bin mir aber leider überhaupt nicht sicher ob diese richtig sind:
Verteilungsfunktion von U:
[mm] F_{U}(u) [/mm] = P(min(X,Y) [mm] \le [/mm] u) = 1-P(min(X,Y) > u) = 1-P(X>u)P(Y>u) = [mm] 1-(1-F_{X}(u))(1-F_{Y}(u)) [/mm] = [mm] 1-(1-F_{x}(u))^{2}
[/mm]
Also mit Dichte : [mm] f_{U}(u) [/mm] = [mm] 2(1-F_{x}(u))f_{X}(u)
[/mm]
Verteilungsfunktion von V:
[mm] F_{V}(v) [/mm] = [mm] (F_{X}(u))^{2}
[/mm]
Dichte: [mm] f_{V}(u) [/mm] = [mm] 2(F_{x}(u))f_{X}(u)
[/mm]
Erwartungswert von U:
E[U] = [mm] \integral_{0}^{a}{u*f_{U}(u) du} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{a}{u*2(1-F_{x}(u))f_{X}(u) du} [/mm] = a/3 mit [mm] F_{x}(u) [/mm] = u/a
Erwartungswert von V:
E[V] = [mm] \integral_{0}^{a}{u*f_{V}(u) du} [/mm] = ...= 2a/3
Nun weiß ich aber leider nicht weiter wie ich die Kovarianz ausrechene, also ich weiß, dass gilt: Cov(U,V)=E[UV]-E[U]E[V] , aber wie berechne ich [mm] E[UV]=\integral_{0}^{a}\integral_{0}^{v}{uv*f_{U,V}(u,v) du}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
bisher sieht alles gut aus.
Die Verteilungsfunktion vom Minimum kann man auch ohne die Gegenwahrscheinlichkeit ausrechnen, das wär in der Klausur auch schneller gewesen 
Für die Kovarianz brauchst du folgendes Wissen:
$V = [mm] \max\{X,Y\} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\left(X + Y + |X-Y|\right)$
[/mm]
$U = [mm] \min\{X,Y\} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\left(X + Y - |X-Y|\right)$
[/mm]
Damit kannst du E[UV] und dem anwenden der 3. binomischen Formel recht fix ausrechnen.
MFG,
Gono.
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