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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Verteilung von ZVe
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Verteilung von ZVe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:27 Fr 16.03.2007
Autor: Riley

Aufgabe
Es seien X und Y unabhängige, Poisson-verteilte Zufallsvariablen zu den Parametern [mm] \lambda_1>0 [/mm] und [mm] \lambda_2>0. [/mm] Bestimme die Verteilung der Zufallsvariablen Z:= X + Y

Guten Morgen,

könnt ihr mir bitte bei dieser aufgabe helfen? hab mir folgendes überlegt:

wegen der Poissonverteilung gilt:
P(X=k) = [mm] \frac{\lambda_1^k}{k!} e^{-\lambda_1} [/mm]

P(Y=k) = [mm] \frac{\lambda_2^k}{k!} e^{-\lambda_2} [/mm]

Verteilung von Z = X + Y :

[mm] P_Z(\{k\}) [/mm] = [mm] P(\{Z=k\}) [/mm]

= P(X+Y=k) = P(X+Y=k, Y =0) + P(X+Y=k, X=0) (bei diesem schritt bin ich nicht sicher, darf man das so "auseinanderziehen" ?)

= P(X=0) P(Y=0)  + P(Y=k) P(X=0) (wg. Unabhänigkeit)

[mm] =\frac{\lambda_1^k}{k!} e^{-\lambda_1} e^{-\lambda_2} [/mm] + [mm] \frac{\lambda_2^k}{k!} e^{-\lambda_2} e^{-\lambda_1} [/mm]

=  [mm] e^{-\lambda_1} e^{-\lambda_2} [/mm] ( [mm] \frac{\lambda_1^k+\lambda_2^k}{k!}) [/mm]

...???

viele grüße
riley


        
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Verteilung von ZVe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:40 Fr 16.03.2007
Autor: luis52

Hallo Riley,

na, was hast du denn da wieder Schoenes fuer uns... ;-)


Ergoogle mal "Poissonverteilung" und "Faltungssatz".

Hier steht's auf Seite 49

[]http://www.statistik.lmu.de/institut/ag/biostat/teaching/statIII2005/skript/kap03.ps


Hoffe, du kannst das lesen.


hth

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Verteilung von ZVe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:09 Fr 16.03.2007
Autor: Riley

Hallo Luis,

Vielen Dank für den tip & link! :-)

nur zu dem ersten schritt, kannst du mir das noch erklären, warum zerlegt man das so:
P(X+Y=k) = [mm] \summe_{i}^{} [/mm] P(X=i, X+Y=k) ?

das weitere umformen und einsetzen ist dann schon klar, aber was ist das i? von wo bis wo läuft das? was bedeutet diese zerlegung?

viele grüße
riley



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Verteilung von ZVe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:54 Fr 16.03.2007
Autor: luis52

Hallo Riley,

ich will's mal selber versuchen. Zunaechst musst du dir darueber klar
werden, welche Werte $X+Y$ annimmt. Da $X$ und $Y$ poissonverteilt sind, sind
dies die Zahlen $0,1,2,...$. Fragen wir uns einmal, wie man
beispielsweise $P(X+Y=5)$ berechnet. Offenbar gilt
$P(X+Y=5)=P(X=0,Y=5)+P(X=1,Y=4)+P(X=2,Y=3)+P(X=3,Y=2)+P(X=4,Y=1)+P(X=5,Y=1)$.
(Das ist der Schritt, wo dir nicht sicher warst. Leider bist du auf
halber Strecke stehen geblieben). Wie du schon selber bemerkt hast, kannst
du die  Summanden wegen der Unabhaengigkeit von $X$ und $Y$ leicht
berechnen.

Sei nun allgemein $z=0,1,2,...$ gegeben. Dann ist also

[mm] \begin{matrix} P(X+Y=z) &=& \sum_{i=0}^zP(X=i)P(Y=z-i)\\ &=&\sum_{i=0}^z\frac{\lambda_1^i}{i!}e^{-\lambda_1}\frac{\lambda_2^{z-i}}{(z-i)!}e^{-\lambda_2}\\ &=&\frac{1}{z!}e^{-(\lambda_1-\lambda_2)}\sum_{i=0}^z{z\choose i}\lambda_1^i\lambda_2^{z-i}\\ &=&\frac{(\lambda_1-\lambda_2)^z}{z!}e^{-(\lambda_1-\lambda_2)} \end{matrix} [/mm]

hth



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Verteilung von ZVe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:08 Fr 16.03.2007
Autor: Riley

Hi Luis,

danke für das bsp, jetzt versteh ich wo mein fehler lag...!
cool, vielen dank!

lg Riley

PS: was heißt eigentlich "hth" ?

Bezug
                                        
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Verteilung von ZVe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:10 Fr 16.03.2007
Autor: luis52


> PS: was heißt eigentlich "hth" ?


hope this helps

hth

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Verteilung von ZVe: achsooo... =)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:35 Fr 16.03.2007
Autor: Riley

yes it definitley did! *thumbsup*  ;-)

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