Verteilung, Indikatorfunktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Mi 28.10.2009 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Es bezeichne [mm]\Gamma \left( x \right) := \integral_{0}^{\infty}{t^{x-1}e^{-t} dt}, \;x>0[/mm], die aus der Analysis bekannte Gammafunktion und für eine bel. Menge [mm] M [/mm] und eine Teilmenge [mm] A \subset M[/mm] sei [mm] I_{A} \;: \;M \to \left\{0,1 \right\} [/mm] mit
[mm] I_{A} \left( x \right) = \left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{wenn }x \in A{ } \\ 0, & \mbox{wenn }x \notin A{ }
\end{matrix}\right. [/mm] [mm] x \in M [/mm], die Indikatorfunktion von A.
a) Sei nun [mm] f : \IR \to \IR [/mm] definiert über
[mm] f_{\alpha , \beta} \left( x \right):= \bruch{1}{\Gamma \left( x \right) \beta^{\alpha}} x^{\alpha - 1} e^{- \bruch{x}{\beta}} I_{\left(0 , \infty \right)} \left( x \right)[/mm] ,[mm] \alpha, \beta > 0 [/mm]
Zeigen Sie, dass es sich bei [mm] f_{\alpha, \beta} [/mm] um die Dichte einer reellen, absolut-stetig verteilten Zufallsvariablen [mm] X [/mm] handelt und berechnen Sie, falls existent, den Erwartungswert und die Varianz von [mm] X [/mm].
b) Sei [mm] g : \IR \to \IR [/mm] definiert über
[mm] g_{\alpha , \beta} \left( x \right) := \alpha \beta^{\alpha} x^{\alpha - 1} e^{- \left( \beta x \right)^{\alpha}} I_{\left(0 , \infty \right)} \left( x \right)[/mm] ,[mm] \alpha, \beta > 0 [/mm]
Zeigen Sie, wie in Teil a), dass es sich bei [mm] g_{\alpha, \beta} [/mm] um die Dichte einer reellen, absolut-stetig verteilten Zufallsvariablen [mm] Y [/mm] handelt und bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von [mm] Y [/mm]. Berechnen Sie ferner, falls existent, den Ertwartungswert von [mm] Y [/mm]. |
Hallo!
Kein Ansatz, weil ich keinen habe =) ! Also das heißt theoritisch schon, aber ich kann ihn nicht umsetzen. Um zu zeigen, dass das eine Dichte ist, muss ich
[mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{f_{\alpha, \beta}(x) dx} = 1[/mm] zeigen. Allerdings weiß ich nicht, wie ich mit der Indikatorfunktion umgehen soll. Wie beachte ich die? Zieh ich die beim Integrieren mit? Und wenn ja, wie?
Und um das Integra zu berechnen muss man vermutlich substituieren, oder?
Wär nett wenn mir das mit der Indikatorfunktion jemand kurz erklären würde - ich hab schon versucht Beispiele zu googeln, aber nichts gefunden, was mir geholfen hätte
Vielen lieben Dank!!!
Ella
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Mi 28.10.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
fuer a) siehe ![[]](/images/popup.gif) hier, Seite 35.
Ergoogle fuer b) Weibull Verteilung (distribution).
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Mi 28.10.2009 | | Autor: | ella87 |
Danke für die schnell Antwort - ich hab mal versucht das anzuwenden:
[mm] \Gamma \left( \alpha \right) = \integral_{o}^{\infty}{t^{\alpha - 1} e^{- t} dt} [/mm] [mm] |: \Gamma \left( \alpha \right) [/mm]
dann [mm] t = \bruch {x}{\beta} [/mm] und ich hab fast (!!!) da stehen, was ich haben will....nur die untere Integralgrenze ist [mm] 0[/mm] und nicht [mm]-\infty[/mm] ist. An der Stelle argumentiere ich dann mit der Indikatorfkt oder? d.h. das Integral ist im Breich von [mm] ( -\infty, 0 ] [/mm] eh [mm] 0[/mm]. Richtig? Dann wär ich ja schon fertig....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Mi 28.10.2009 | | Autor: | luis52 |
> An der Stelle argumentiere ich
> dann mit der Indikatorfkt oder? d.h. das Integral ist im
> Breich von [mm]( -\infty, 0 ][/mm] eh [mm]0[/mm]. Richtig? Dann wär ich ja
> schon fertig....
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:31 Mi 28.10.2009 | | Autor: | ella87 |
danke für die schnelle Hilfe, aber ich häng schonwieder...
Erwartungswert:
[mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{x \; \bruch{1}{\Gamma ( \alpha ) \beta^{\alpha}} \; x^{\alpha - 1} \; e^{ \bruch{-x}{\beta}} dx} \quad = \quad \bruch{1}{\Gamma ( \alpha ) \beta^{\alpha}}\integral_{- \infty}^{\infty}x^{ ( \alpha + 1 ) -1 }\; e^{ \bruch{-x}{\beta}} dx}[/mm]
fast könnte man die Regel [mm] \Gamma ( t+1 ) \quad=\quad t \; \Gamma ( t ) [/mm] aber der Exponent beim [mm] e [/mm] passt nicht....
Dann müsste man doch eigentlich kürzen können und wäre am Ziel - wie mach ich das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 21:34 Mi 28.10.2009 | | Autor: | ella87 |
kann ich einfach substituieren???
[mm] t = \bruch{x}{\beta} [/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Fr 30.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mo 02.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
