Vertauschen Sup und Limit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:08 Fr 17.05.2013 | | Autor: | hula |
Hallöchen
Ich habe eine Funktion [mm] $f:L^\infty\to\mathbb{R}$. [/mm] Wobei wir mit einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $(\Omega,\mathcal{F},P)$ [/mm] arbeiten. Sei [mm] $X_n$ [/mm] eine folge von gleichmässig beschränkten Folge von Z.V. die gegen eine Z.V. $X$ $P-$fast sicher konvergieren. Ausserdem habe ich eine Menge $M$ von Wahrscheinlihckeitsmassen, die absolut stetig bzgl. $P$ sind. Sei [mm] $R\in [/mm] M$. Nun gilt mittel Fatou:
[mm] $E_R[X]\le\lim\inf E_R[X_n]$
[/mm]
$f$ is so definiert, dass [mm] $f(Y):=\sup_ME_R[Y]$. [/mm] Nun wird behauptet, dass ich in obiger Ungleichung zuerst das Supremum auf der rechten Seite bilden kann und dann auf der linken Seite, so dass ich erhalte:
[mm] $f(X)\le \lim\inf f(X_n)$
[/mm]
Dazu müsste ich aber ja auch noch [mm] $\lim\inf$ [/mm] und Superemum vertauschen. Oder kann ich einfach sagen:
[mm] $\lim\infE_R[X_n]\le \lim\inf \sup_ME_R[X_n]$?
[/mm]
Danke für die Hilfe!
greetz
hula
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Hiho,
> Sei [mm]R\in M[/mm]. Nun gilt mittel Fatou:
>
> [mm]E_R[X]\le\lim\inf E_R[X_n][/mm]
Nein, das gilt nicht. Um Fatou anwenden zu können, brauchst du nichtnegative Funktionen. Das ist hier nicht gegeben.
Du kannst aber majorisierte Konvergenz benutzen und erhälst sogar:
[mm] $E_R[X] [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} E_R[X_n] [/mm] = [mm] \liminf_{n\to\infty} E_R[X_n]$
[/mm]
Mit [mm] $E_R[X_n] \le \sup_M E_R[X_n]$ [/mm] erhälst du das Gewünschte.
MFG,
Gono.
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