Verständnisproblem Beweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle n [mm] \ge [/mm] 10 gilt:
[mm] 2^n [/mm] > [mm] n^3 [/mm] |
Hallo zusammen,
lerne grade für die kommende Matheklausur und kämpf mich durch die Induktion.
Habe für die Aufgabe eine Lösung, welche ich ab einer bestimmten Stelle nicht mehr verstehe. Hier der Rechenweg:
Anfang:
n=10: 2^10 = 1024 > 1000 = [mm] 10^3
[/mm]
Induktionsschluss:
[mm] 2^{n+1} [/mm] = [mm] 2\*2^n [/mm] > [mm] 2\*n^3 [/mm] = [mm] n^3+n^3 [/mm] > (!!!) [mm] n^3 [/mm] + [mm] 7n^2 [/mm] = [mm] n^3 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] + [mm] 4n^2 [/mm] = [mm] n^3 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] + [mm] n^2 [/mm] > [mm] n^3 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] + 3n + 1 = [mm] (n+1)^3
[/mm]
Den Schritt beim "(!!!)" verstehe ich nicht. Woher kommt das [mm] 7n^2?
[/mm]
Und als kleine Randfrage.. ist die Schreibweise so in Ordnung? In der Musterlösung, die jedoch nicht aus der Uni kommt, ist wirklich alles in eine Zeile geschrieben.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Nun, überleg doch mal, wieso gilt
[mm] $n^3 [/mm] > [mm] 7n^2$ [/mm] wenn du weißt, dass $n [mm] \geq [/mm] 10$ ist?
Zu deiner anderen Frage:
Dass der Induktionsschluss komplett in einer Zeile steht ist kein Problem, ist sogar manchmal schöner sowas.
Du fängst auf der einen Seite an und rechnest so lange bis du auf der anderen ankommst, da ist überhaupt nichts gegen einzuwenden (und du musst nicht immer aufpassen ob du nun einen Äquivalenzpfeil oder einen Implikationspfeil oder was auch immer an den Rand malen musst).
Ich persönlich bin der Meinung falls es möglich ist sollte man es besser so machen als mit vielen Gleichungen und Äquivalenzumformungen (aber jedem das seine^^).
Es fehlt aber sowohl ein schöner Anfang/Überschrift als auch (ganz wichtig!) die Induktionsvoraussetzung.
Ich hoffe mal in deinem Interesse, dass du die bei dir stehen hast und sie nur hier nicht abtippen wolltest, denn bei Induktionsaufgaben (vor allem am Anfang) gibts 1/3 der Punkte für die Rechnung und 2/3 für den formal korrekten Aufbau.
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um ehrlich zu sein, ich komme nicht drauf.. ist das aus dem voherigen Teil schon ersichtlich? Oder kann es ich als gegeben betrachten, dass [mm] n^3 [/mm] > [mm] 7n^2 [/mm] ist?
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Es ist
[mm] $n^3 [/mm] = [mm] n*n^2 [/mm] > [mm] 7*n^2$
[/mm]
Jetzt teil mal auf beiden Seiten durch [mm] $n^2$ [/mm] ;)
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