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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Fr 01.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag alle zusammen!
Ich bereite mich für eine Analysis III Klausur vor und gehe die Vorlesung ganz minuziös durch... Ich bin bis jetzt die Kapitel über die Maßkonstruktion und messbare Funktionen durchgegangen und habe zwei Dinge, die ich nicht 100%ig verstehe.
1. Das ist eine Folgerung, leider ohne Beweis :-( :
Jede endliche oder abzählbare Teilmenge vom [mm] \mathbb R^n [/mm] hat das Lebesque-Maß 0 !
Kann mir jamand genau erklären warum?
Ich weiß, was abzählbar und was endlich bedeutet, sprich die Definitionen:
Eine Menge M heißt endlich, wenn es eim [mm] m \in \mathbb N \cup \{ 0 \} [/mm] und eine Bijektion von [mm] \{1, ..., m \} [/mm] auf M gibt.
Eine Menge M heißt abzählbar, wenn es eine Bijektion von [mm] \mathbb N [/mm] auf M gilt.
Und da z.B die rationalen Zahlen abzählbar sind, haben diese ja auch das Lebesque-Maß 0. Aber warum denn genau?
Ich habe die Vorstellung z.B. , dass man diese als einzelne Punkte auffasssen kann, und das Maß eines Punktes ist ja Null und da das Maß [mm] \sigma [/mm] - additiv ist, wäre dann das komplette Maß auch Null.
Ist das richtig?
2. ( Wahrscheinlich total einfache und doofe Frage)
Seien [mm] f_n : X \to \overline{ \mathbb R } [/mm] messbare numerische Funktionen.
i) Wenn die Folge [mm] f_n [/mm] punktweise konvergiert, so ist [mm] \lim_{n} f_n [/mm] messbar?
Beweis:
[mm] \lim_{n} f_n = \lim_{n} \sup f_n. [/mm] Und da [mm] \lim_{n} \sup f_n. [/mm] mebbar ist, ist [mm] \lim_{n} f_n [/mm] auch messbar, wenn es existiert.
Ich verstehe die Gleichung [mm] \lim_{n} f_n = \lim_{n} \sup f_n. [/mm] nicht :-(. Könnte man mir erklären warum dies gilt, und wo kommt hier die punktweise Konvergenz in Spiel?
Vielen Dank für die Mühe!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:09 Fr 01.02.2008 | | Autor: | SEcki |
> Ich habe die Vorstellung z.B. , dass man diese als
> einzelne Punkte auffasssen kann, und das Maß eines Punktes
> ist ja Null und da das Maß [mm]\sigma[/mm] - additiv ist, wäre dann
> das komplette Maß auch Null.
> Ist das richtig?
Ja, das liegt daran das ein Punkt das Maß 0 hat. Muss man ja auch erstmal beweisen ... :)
> Ich verstehe die Gleichung [mm]\lim_{n} f_n = \lim_{n} \sup f_n.[/mm]
> nicht :-(.
Auf diesem Raum sind [m]\limsup[/m] und [m]\liminf[/m] als kleinster bzw. größter Häufungspunkt. Falls di Funktion konvergiert, sind diese Werte gleich. Vergleiche Heine-Borel im endlich-dim.
SEcki
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