www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Verständnisfrage zum Grenzwert
Verständnisfrage zum Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Verständnisfrage zum Grenzwert: Gleichmäßige Konvergenz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:10 So 24.01.2016
Autor: Manu271

Aufgabe
Entscheiden Sie ob nachfolgende Funktionenfolge punktweise oder gleichmäßige Konvergenz vorliegt:
[mm] (a_n)_{n\in \IN} [/mm] mit [mm] a_n [/mm] : { z [mm] \in \IC [/mm] : |z| < 1 } [mm] \to \IC, a_n(z) [/mm] := [mm] \summe_{k=0}^{n} z^k [/mm]

Hallo,

ich möchte bei dieser Aufgabe gleich zur Stelle springen, an der man gleichmäßige Konvergenz widerlegt:

Die Grenzfunktion habe ich ermittelt als: [mm] f=\begin{cases} 0, & \mbox{für } z = \mbox{0} \\ \bruch{1}{1-z}, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm]
Sei z [mm] \not= [/mm] 0.
Dann:
[mm] |a_n(z) [/mm] - [mm] \bruch{1}{1-z} [/mm] | = [mm] |\bruch{1-z^{n+1}}{1-z} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1-z}| [/mm] = [mm] |\bruch{-z^{n+1}}{1-z}| [/mm] = [mm] \bruch{|z|^{n+1}}{|1-z|} [/mm] für fast alle n

Wende ich jetzt [mm] \limes_{|z|\rightarrow 1} [/mm] an, so soll der gesamte Ausdruck gegen Unendlich streben.
Das ist mir nicht ganz klar, der Nenner wird unendlich klein, ja das verstehe ich.
Aber: [mm] |z|^{n+1} [/mm] ist doch äquivalent zu "0,9999...^{n+1}"
Das ist kleiner Eins und müsste doch für n gegen unendlich ebenfalls zu Null werden.
ich hoffe mir kann das jemand erklären.

LG

Manu271

        
Bezug
Verständnisfrage zum Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:30 So 24.01.2016
Autor: fred97


> Entscheiden Sie ob nachfolgende Funktionenfolge punktweise
> oder gleichmäßige Konvergenz vorliegt:
>  [mm](a_n)_{n\in \IN}[/mm] mit [mm]a_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

: { z [mm]\in \IC[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

: |z| < 1 } [mm]\to \IC, a_n(z)[/mm]

> := [mm]\summe_{k=0}^{n} z^k[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich möchte bei dieser Aufgabe gleich zur Stelle springen,
> an der man gleichmäßige Konvergenz widerlegt:
>  
> Die Grenzfunktion habe ich ermittelt als: [mm]f=\begin{cases} 0, & \mbox{für } z = \mbox{0} \\ \bruch{1}{1-z}, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>  
> Sei z [mm]\not=[/mm] 0.
>  Dann:
>  [mm]|a_n(z)[/mm] - [mm]\bruch{1}{1-z}[/mm] | = [mm]|\bruch{1-z^{n+1}}{1-z}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{1-z}|[/mm] = [mm]|\bruch{-z^{n+1}}{1-z}|[/mm] =
> [mm]\bruch{|z|^{n+1}}{|1-z|}[/mm] für fast alle n
>  
> Wende ich jetzt [mm]\limes_{|z|\rightarrow 1}[/mm] an, so soll der
> gesamte Ausdruck gegen Unendlich streben.
>  Das ist mir nicht ganz klar, der Nenner wird unendlich
> klein, ja das verstehe ich.
>  Aber: [mm]|z|^{n+1}[/mm] ist doch äquivalent zu "0,9999...^{n+1}"
>  Das ist kleiner Eins und müsste doch für n gegen
> unendlich ebenfalls zu Null werden.
>  ich hoffe mir kann das jemand erklären.

Es ist doch n fest und z geht gegen 1 !

Fred

>  
> LG
>  
> Manu271


Bezug
                
Bezug
Verständnisfrage zum Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:53 So 24.01.2016
Autor: Manu271

Achso, ok das macht es logisch.
Vielen Dank, jetzt hab ich's verstanden :)

LG

Manu271

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]