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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Do 14.07.2011 | | Autor: | Fatih17 |
Hallo,
ich habe da eine Frage bezüglich einer Ungleichung :
[mm] \bruch{2}{|x+1|} \ge \bruch{1}{|x-2|}
[/mm]
Da es sich bei einem Betrag immer um 2 Fälle handelt, haben wir hier somit 4 Fälle!
Ein anderes Problem ist aber, dass ich im 1.Fall mit [mm] x^{2}-x+2 [/mm] multiplizieren muss, somit hätte ich im 1.Fall wieder 2 Fälle !
Meine Frage ist nun, wenn ich sowas wie x<-1 und x>2, dann stimmt diese Aussage doch garnicht, weil es keine Zahl gibt die kleiner ist als -1 und größer als 2 oder? Fällt somit dann der ganze Fall weg?
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Hallo,
> Hallo,
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> ich habe da eine Frage bezüglich einer Ungleichung :
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> [mm]\bruch{2}{|x+1|} \ge \bruch{1}{|x-2|}[/mm]
>
> Da es sich bei einem Betrag immer um 2 Fälle handelt,
> haben wir hier somit 4 Fälle!
Das ist so zunächst einmal theoretisch richtig. Hier jedoch sind es nur drei Fälle, nämlich
- [mm]x<-1[/mm]
- [mm]-1\le x<2[/mm]
- [mm]x\ge2[/mm]
Und: die muss man i.d.R. allesamt getrennt behandeln, also unterscheiden.
> Ein anderes Problem ist aber, dass ich im 1.Fall mit
> [mm]x^{2}-x+2[/mm] multiplizieren muss, somit hätte ich im 1.Fall
> wieder 2 Fälle !
Ich würde den Hauptnenner nicht ausmultiplizieren, sondern mit (x+1)*(x-2) multiplizieren. Was du mit den beiden Fällen meinst, kann ich nur erahnen. Es ist falsch formuliert, es ist und bleibt ein Fall. Aber es kann sein, dass die Schnittmenge aus Lösungsmenge für diesen Fall und angenommener Grundmenge leer ist. Dann gäbe es für diesen Fall eben keine Lösung. Wenn du mit 1. Fall jedoch x<-1 meinst, so darf das nicht passieren, sonst hast du dich verrechnet.
> Meine Frage ist nun, wenn ich sowas wie x<-1 und x>2, dann
> stimmt diese Aussage doch garnicht, weil es keine Zahl gibt
> die kleiner ist als -1 und größer als 2 oder? Fällt
> somit dann der ganze Fall weg?
Wenn, dann siehe oben. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Do 14.07.2011 | | Autor: | Fatih17 |
kannst du mir etwas genauer erklären warum es nur 3 Fälle sind?
Wenn ich die Brüche zusammenziehe muss ich doch trotzdem später du´rch den Nenner multiplizieren damit der Ausdruck besser da steht, somit hätte ich immernoch weitere 2 Fälle in einem Fall oder?
MFG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Do 14.07.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fatih!
Multipliziere im allersten Schritt die Ungleichung mit den beiden Beträgen. Dies kannst Du gefahrlos machen, da diese Beträge efinitiv immer positiv sind.
Anschließend dann die Fallunterscheidung, die im ersten Schritt 4 Fälle ergeben. Davon lassen sich zwei Fälle zu einem zusammenfassen (siehe Diophants mittlerer Fall).
Gruß
Loddar
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Hallo Fatih,
> ich habe da eine Frage bezüglich einer Ungleichung :
>
> [mm]\bruch{2}{|x+1|} \ge \bruch{1}{|x-2|}[/mm]
>
> Da es sich bei einem Betrag immer um 2 Fälle handelt,
> haben wir hier somit 4 Fälle!
Nein, drei - wie die andern schon gesagt haben. Das kann man sich aber einfach erklären.
> Ein anderes Problem ist aber, dass ich im 1.Fall mit
> [mm]x^{2}-x+2[/mm] multiplizieren muss, somit hätte ich im 1.Fall
> wieder 2 Fälle !
Musst du nicht. Loddars Tipp ist hier der entscheidende. Du kannst Deine Ungleichung umformen zu
[mm] 2|x-2|\ge |x+1| [/mm]
> Meine Frage ist nun, wenn ich sowas wie x<-1 und x>2, dann
> stimmt diese Aussage doch garnicht, weil es keine Zahl gibt
> die kleiner ist als -1 und größer als 2 oder? Fällt
> somit dann der ganze Fall weg?
Ja, klar. Was es nicht gibt, muss man nicht untersuchen.
Einfacher zu sehen ist das vielleicht so: die beiden Beträge, die in der Ungleichung vorkommen, weisen darauf hin, dass "sich etwas tut" bei x=-1 und bei x=2, und sonst nicht. An diesen beiden Stellen ist der Zahlenstrahl also zu unterteilen. Und da |0|=|-0| ist (je nachdem, wie Ihr die Betragsfunktion genau definiert habt - auch da gibt es zwei Möglichkeiten, wobei die Aufteilung in x<0 und [mm] x\ge0 [/mm] üblich ist), kannst Du nun entweder so aufteilen:
[mm]x<-1,\quad -1\le x<2,\quad 2\le x[/mm]
oder [mm]x\le -1,\quad -1
Natürlich sind noch zwei weitere Möglichkeiten denkbar, werden aber normalerweise nicht verwandt. Den Grund findest Du sicher selbst, ich habe sogar schon darauf hingewiesen.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:12 Fr 15.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Man braucht keine Fallunterscheidungen:
$ [mm] 2|x-2|\ge [/mm] |x+1| $ [mm] \gdw [/mm] $ [mm] 4|x-2|^2\ge |x+1|^2 [/mm] $ [mm] \gdw $4x^2-16x+16 \ge x^2+2x+1$ \gdw [/mm] ....
FRED
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