Verständnisfrage < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich verstehe folgendes nicht:
Wir haben eine Funktionenfolge [mm] f_n(x) [/mm] = [mm] \bruch{sin(nx)}{\wurzel{n}}
[/mm]
[mm] f_n [/mm] : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm]
Die Ableitung ist f'_n(x) = [mm] cos(nx)*\wurzel{n}
[/mm]
Was ist die Grenzfunktion der Ableitung?
Für x = 0 konvergiert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} cos(nx)*\wurzel{n} [/mm] gegen 0
Für alle x [mm] \in \IR \not=0 [/mm] divergiert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} cos(nx)*\wurzel{n} [/mm] ( ist nämlich alternierend)
Existiert jetzt eine Grenzfunktion, oder nicht ?
Zusatzfrage: Was ist, wenn die Grenzfunktion nicht stetig ist? Dann kann die Funktionenfolge gar nicht erst punktweise beziehungsweise gleichmäßig konvergieren, oder ?
Vielen Dank im Voraus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:12 Mo 25.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich verstehe folgendes nicht:
>
> Wir haben eine Funktionenfolge [mm]f_n(x)[/mm] =
> [mm]\bruch{sin(nx)}{\wurzel{n}}[/mm]
> [mm]f_n[/mm] : [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm]
>
> Die Ableitung ist f'_n(x) = [mm]cos(nx)*\wurzel{n}[/mm]
>
> Was ist die Grenzfunktion der Ableitung?
> Für x = 0 konvergiert [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} cos(nx)*\wurzel{n}[/mm]
> gegen 0
Was ist ? Für x=0 ist [mm] f_n'(0)=\wurzel{n} [/mm] !!
>
> Für alle x [mm]\in \IR \not=0[/mm] divergiert
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} cos(nx)*\wurzel{n}[/mm] ( ist
> nämlich alternierend)
>
> Existiert jetzt eine Grenzfunktion, oder nicht ?
Es ex. keine.
>
> Zusatzfrage: Was ist, wenn die Grenzfunktion nicht stetig
> ist? Dann kann die Funktionenfolge gar nicht erst
> punktweise beziehungsweise gleichmäßig konvergieren, oder
> ?
Beispiel. [mm] f_n(x)=x^n [/mm] . [mm] (f_n) [/mm] konvergiert punktweise gegen eine unstetige Grenzfunktion.
Satz: ist D eine Teilmenge von [mm] \IR [/mm] , [mm] (f_n) [/mm] eine Folge stetiger Funktionen auf D und konvergiert [mm] (f_n) [/mm] auf D gleichmäßig, so ist die Grenufunktion auf D stetig.
FRED
>
> Vielen Dank im Voraus.
|
|
|
|
