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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Sa 18.11.2006 | | Autor: | tathy |
| Aufgabe | Ein Trog von 2m Länge hat Form eines senkrechten Prismas; der Querschnitt ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 50cm. In den Trog werden pro Sekunde 2 Liter Wasser gefüllt.
a) Ermitteln sie die Zuordnung h(t) [mm] \mapsto [/mm] V(t)
b) Wie schnell steigt der Wasserspiegel in den Augenblick, wo das Wasser im Trog 30cm hoch ist? |
Hallo!
das ist eine Aufgabe aus dem Wahlteil. ich nehme mal an, dass in Aufgabenteil a) nach der Verkettung h [mm] \circ [/mm] V gefragt ist.
Ich könnte das Volumen des Trogs mit [mm] V_{trog}=a²/4*\wurzel{3}*200
[/mm]
berechnen. Und h ist ja: [mm] h=\wurzel{a²-a²/4}
[/mm]
da 2 Liter Wasser pro sekunde in den trog fließen bedeutet das, dass v(t)=2 l/s *t ist, oder?
Hier komme ich nun nicht mehr weiter.
Vielleicht kann mir ja jemand von euch helfen. Vielen Dank schon mal im Voraus!
Gruß tathy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:57 So 19.11.2006 | | Autor: | rahu |
guten morgen
ich nehme mal an das der trog mit der spitze nach unten steht.
die fläche deines dreiecks in abhänigkeit von h ist A = g*h. mit g = 2*cos(30°)*h.
also ist A = [mm] 2*cos(30°)*h^{2} [/mm] = [mm] \wurzel{3} [/mm] * [mm] h^2 [/mm]
und somit V = A * l = [mm] \wurzel{3} [/mm] * [mm] h^2 [/mm] * l
nach h umgestellt: h = [mm] \wurzel{\bruch{V}{\wurzel{3}*l}}
[/mm]
mit V = 2 [l/sec]
h(t) = [mm] \wurzel{\bruch{Vo*2*t}{\wurzel{3}*l}} [/mm] //Vo ist anfangsvolumen
jetzt kannst du dir erstmal das Volumen berechnen was bereits im trog ist wenn das wasser 30cm hoch steht.
danach setzt du für t = 1sec und berechnest h(1).
und die geschwindigkeit ist dann h(1)/1 
viele grüße
ralf
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 13:57 So 19.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich glaube thaty hat recht mit dem Volumen,
[mm] V(h)=\br{h^2}{\wurzel{3}}*L [/mm] und nicht [mm] V(h)=\wurzel{3}*h^2*L
[/mm]
d.h. also [mm] h=\wurzel{ \br { \wurzel{3}*V } { L } }
[/mm]
berücksichtigt man ein Anfangsvolumen so lautet die Formel für die Höhe
[mm] h(t)=\wurzel{ \br { \wurzel{3}*(V_0+2000*t) } { L } } [/mm] und [mm] V_0 [/mm] ist das Anfangsvolumen für eine Füllstandshöhe von 30 cm.
Also ist die Zeit [mm] t_0 [/mm] zu berechnen, bis wann die Füllstandshöhe erreicht ist. Die Geschwindigkeit mit der der Wasserspiegel steigt ist dann die zeitliche Ableitung von h(t) zum Zeitpunkt [mm] t_0, [/mm] also [mm] v=\br{d}{dt}h(t) [/mm] für [mm] t=t_0
[/mm]
[mm] t_0 [/mm] ergibt sich als Lösung von V(30 [mm] cm)=2000*t_0 [/mm] also [mm] t_0=30*\wurzel{3} [/mm] daraus folgt
[mm] v(t_0)=\br{\wurzel{6}}{12}\br{cm}{s}
[/mm]
mfg ullim
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