Verhalten im Unendlichen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion i (x)= Sin(Log(x))
a) Zeichnen Sie den Graphen
b) Bestimmen Sie das Verhalten im Unendlichen gegen +unendlich und den Definitionsbereich.
c) Bestimmen Sie drei Nullstellen und die Grösse des ersten Fächenstücks oberhalb der x - Achse. |
Wie ist die Aufgabe b) zu lösen?
- Bestimmung des Verhalten im Unendlichen der geg. Funktion
- Definitionsbereich?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Ich nehme an, mit log meinst du den log zur basis 10.
Dann ist der definitionsbereich x>0, weil logarithmen nur für positive zahlen definiert snd. der komposition mit der sinusfunktion ist hier egal.
da du es nur bestimmen mußt, ist es so, das sinusfkten keinen grenzwert im unendlichen haben, sprich er ist nicht definiert weil er ja immer zweichen -1 und 1 schwankt.
GW x->0 ist eher interessant, würde ich aufgrund des GWs des Argumentes [mm] logx->\infty [/mm] und der obigen arguementation, dass der GW des sinus für [mm] arg->\infty [/mm] nicht bestimmt ist, das selbige sagen.
ohen gewähr :)
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> Gegeben ist die Funktion i (x)= Sin(Log(x))
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> a) Zeichnen Sie den Graphen
> b) Bestimmen Sie das Verhalten im Unendlichen gegen
> +unendlich und den Definitionsbereich.
> c) Bestimmen Sie drei Nullstellen und die Grösse des
> ersten Fächenstücks oberhalb der x - Achse.
> Wie ist die Aufgabe b) zu lösen?
> - Bestimmung des Verhalten im Unendlichen der geg.
> Funktion
Grundlegende Frage: ist [mm] $\log(x)$ [/mm] der dekadische oder der natürliche Logarithmus? - Gut: am qualitativen Verhalten für [mm] $x\rightarrow\infty$ [/mm] und [mm] $x\rightarrow [/mm] 0+$ ändert dies nichts.
Wegen [mm] $\lim_{x\rightarrow\infty}\log(x)=\infty$ [/mm] gilt:
[mm]\lim_{x\rightarrow\infty}\sin(\log(x))=\lim_{x\rightarrow\infty}\sin(x)\text{ existiert nicht}[/mm]
(da [mm] $\sin(x)$ [/mm] für [mm] $x\rightarrow\infty$ [/mm] zwischen den Werten $-1$ und $+1$ hin und her pendelt).
Und wegen [mm] $\lim_{x\rightarrow 0+}\log(x)=-\infty$ [/mm] gilt entsprechend:
[mm]\lim_{x\rightarrow 0+}\sin(\log(x))=\lim_{x\rightarrow-\infty}\sin(x)\text{ existiert nicht}[/mm]
(da [mm] $\sin(x)$ [/mm] auch für [mm] $x\rightarrow -\infty$ [/mm] zwischen den Werten $-1$ und $+1$ hin und her pendelt).
> - Definitionsbereich?
Nur der [mm] $\log$ [/mm] kann für gewisse Argumente nicht definiert sein. - Und für welche ist er nicht definiert? - Bekanntlich für [mm] $x\leq [/mm] 0$ also ist der Definitionsbereich dieser Funktion gleich [mm] $]0;+\infty[$ [/mm] d.h. [mm] $\IR^{+}$.
[/mm]
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion i(x) = sin(ln(x)).
c) Bestimmen Sie drei Nullstellen, und die Grösse des ersten Flächenstücks oberhalb der x-Achse.
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Wie kann ich in Mathematica eine Liste von den Nullstellen eines bestimmten Bereichs auf der x-Achse ausgeben lassen?
> Gegeben ist die Funktion i (x)= Sin(Log(x))
>
> a) Zeichnen Sie den Graphen
> b) Bestimmen Sie das Verhalten im Unendlichen gegen
> +unendlich und den Definitionsbereich.
> c) Bestimmen Sie drei Nullstellen und die Grösse des
> ersten Fächenstücks oberhalb der x - Achse.
> Wie ist die Aufgabe b) zu lösen?
> - Bestimmung des Verhalten im Unendlichen der geg.
> Funktion
> - Definitionsbereich?
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Gegeben ist die Funktion i(x) = sin(ln(x)).
> c) Bestimmen Sie drei Nullstellen, und die Grösse des
> ersten Flächenstücks oberhalb der x-Achse.
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> Wie kann ich in Mathematica eine Liste von den Nullstellen
> eines bestimmten Bereichs auf der x-Achse ausgeben lassen?
Ich würde annehmen, dass Du die allgemeine Lösung mittels [mm]\mathrm{Solve}[\mathrm{Sin}[\mathrm{Log}[x]]=0,x][/mm] erhältst, kann es aber nicht ausprobieren...
In diesem Falle brauchst Du aber Mathematica nicht zu bemühen, denn es ist doch einfach
[mm]\begin{array}{lcll}
\sin(\ln(x)) &=& 0 &\big|\mathrm{arcsin}\\
\ln(x) &=& n\pi, n\in \IZ &\big| \mathrm{exp}\\
x &=& \mathrm{e}^{n\pi},n\in\IZ
\end{array}[/mm]
die (unendlich vielen) Nullstellen von $i(x)$.
Nebenbei bemerkt: Es gibt kein "(von links nach rechts) erstes Flächenstück" zwischen dem Graphen dieser Funktion und der $x$-Achse, weil diese (stetige) Funktion für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0+$ immer wilder zwischen $-1$ und $+1$ hin und her pendelt.
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