Verhalten der Funktion < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:05 Di 17.02.2009 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Untersuchen Sie mit einer geeigneten Fallunterscheidung bezüglich k das Verhalten von fk(x) für |x|->0 und |x|->unendlich.
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[mm] fk(x)=\bruch{kx-2}{x^{2}} [/mm]
Nun soll ich das Verhalten der Funktion bestimmen. Ich habe mit minus unendlich angefangen. Habe die Regel von Lopital angewand, da ich beim ersten Bruch nicht weiterkomme.
[mm] \limes_{x\rightarrow\ - unend} \bruch{kx-2}{x^{2}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ - unend}\bruch{k}{2x} [/mm]
Wenn x gegen - unendlich geht, geht der Nenner auch gegen unendlich.
Das Verhalten hängt jetzt also von den Zähler ab, wo die Funktion hingeht.
Jetzt die Frage: Laut GTR geht der Graf für - unendlich gegen Null und das k sagt aus ob die Funktion sich von oben oder von unten an die x Achse nächert.
Wie kommt man drauf?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:09 Di 17.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo zoj!
Man kommt hier auch ohne de l'Hospital aus, wenn man den Bruch zerlegt:
[mm] $$\bruch{k*x-2}{x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{k*x}{x^2}-\bruch{2}{x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{k}{x}-\bruch{2}{x^2}$$
[/mm]
Da sowohl $k_$ als auch $2_$ feste, konstante Zahlen sind, geht der Grenzwert für [mm] $|x|\rightarrow\infty$ [/mm] stets gegen 0.
Von welcher Seite sich der Grenzwert annähert, kann man durch die Regel "Plus durch Plus = Plus" etc. ermitteln.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:19 Di 17.02.2009 | | Autor: | zoj |
Vielen Dank für deine Antwort.
Könntest du mir genau erklären wie man auf die "0" kommt?
Habe schon im Internet und in Büchern nachgeschaut, jedoch wird es kaum erlärt.
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L heißt Limes von f(x) für x [mm] \to \infty [/mm] (Schreibweise: [mm] \lim_{x \to \infty} [/mm] f(x) )
genau dann, wenn
[mm] \forall (\epsilon>0): \exists [/mm] z: [mm] \forall(z>y): [/mm] | f(z) - [mm] x_0 [/mm] | < [mm] \epsilon [/mm]
Du musst das also nur für L = 0 und deine genannte Funktion nachweisen.
Analog bei [mm] x\to-\infty
[/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:51 Di 17.02.2009 | | Autor: | zoj |
Irgendwie verstehe ich das nicht...
Kann man das irgendwie einfacher erklären?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:56 Di 17.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo zoj!
Wie habt ihr denn "Grenzwert" definiert?
Dürft ihr nicht verwenden, dass [mm] $\limes_{|x|\rightarrow\infty}\bruch{A}{x^n} [/mm] \ = \ 0$ (für $A \ = \ [mm] \text{konstant}$ [/mm] und [mm] $n\in\IN$)?
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:02 Di 17.02.2009 | | Autor: | zoj |
Stimmt! Eine Konstante duch eine immer größer werdende Zahl ist 0!
Habe gerade in der Zeichnung des Gfafen festgestellt, dass die Funktion gegen - unendlich für k=1 gegen 1 geht.
Hier ist ein Screenshot von dieser Funktion mit k=1
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:00 Di 17.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> L heißt Limes von f(x) für x [mm]\to \infty[/mm] (Schreibweise:
> [mm]\lim_{x \to \infty}[/mm] f(x) )
>
> genau dann, wenn
>
> [mm]\forall (\epsilon>0): \exists[/mm] z: [mm]\forall(z>y):[/mm] |
> f(z) - [mm]x_0[/mm] | < [mm]\epsilon[/mm]
>
Damit ist doch niemandem geholfen !!!! Kannst Du Dir nicht die Mühe machen und es richtig aufschreiben ??::::
[mm]\forall (\epsilon>0): \exists[/mm] y: [mm]\forall(z>y):[/mm] | f(z) - [mm]L[/mm] | < [mm]\epsilon[/mm]
FRED
> Du musst das also nur für L = 0 und deine genannte Funktion
> nachweisen.
>
> Analog bei [mm]x\to-\infty[/mm]
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