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| Aufgabe | x²+x+1/2x+2
Verhalten an der Polstelle
x--->-1+0 und x--->-1-0 ??? |
Hallo,
für diese Aufgabe soll man das Verhalten an der Polstelle angeben. Ich weiß aber wirklich nicht auf was es dabei ankommt und,ob man dabei auf den Zähler oder Nenner achten soll. Oder gar die Polstelle an sich? Kann mir da mal jemand nen "Trick" verraten,wie man ganz einfach das Verhalten an der Polstelle bestimmt......1000 Dank für eure Mühe!
P.S. : Die Polstelle ist -1 für die Aufgabe,das macht mir keine Probleme,aber wie sie sich verhält 
Bin mir sicher,dass es hier paar Leute gibt die mir wie immer weiter helfen können! LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:56 So 11.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
meinst du folgende Funktion:
[mm] f(x)=x^2+\bruch{x+1}{2x+2} [/mm] ?
Diese Funktion kannst du umschreiben in:
[mm] f(x)=x^2+\bruch{x+1}{2(x+1)}
[/mm]
Nun kannst du ja theoretisch das x+1 herauskürzen, und du erhälst
[mm] f(x)=x^2+\bruch{1}{2} [/mm] als "Ersatzfunktion"
Trotzdem hast du ja noch die Definitionslücke x=-1, da dort ja der Nenner der ursprünglichen Funktion 0 würde.
Nun gut, da du aber das x im Nenner vollstädnig herauskürzen kannst, und du bei x=-1 den Fall 0/0 vorliegen hast, hast du KEINE Polstelle.
Du hast eine sog. "hebbare" Definitionslücke mit den Koordinaten (-1;1,5)
Diese bekommst du, indem du die -1 in deine Ersatzfunktion [mm] f(x)=x^2+\bruch{1}{2} [/mm] einsetzt.
Dein Graph sieht genauso aus wie die oben genannte Parabel, allerdings hast du dann eine hebbare Definitionslücke an dem oben genannten Punkt, denn dort ist deine Funktion ja nicht definiert.
Das macht man dann deutlich, indem man z.B. in dem Graphen um den entsprechenden Punkt so einen Kringel zeichenet.
Sláin,
Kroni
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Hallo Kroni,
da es um das Verhalten an der POLSTELLE x=-1 geht, ist wohl offensichtlich die Funktion [mm] f(x)=\bruch{x^2+x+1}{2x+2} [/mm] gemeint, auch wenn die Klammerung nicht eideutig ist.
Das geht aber aus dem Kontext der Aufgabenstellung hervor (zumal Marc ja auch schon die POLstelle -1 angegeben hat)
@Marc:
Hi, wenn du links- und rechtsseitige Grenzwerte hattest, untersuche
[mm] \limes_{x\downarrow -1}f(x) [/mm] und [mm] \limes_{x\uparrow -1}f(x)
[/mm]
Untersuche also, wie sich die Funktionswerte verhalten, wenn du dich von oben und von unten an -1 annäherst
Ich habe den Graphen der Funktion mal in den Anhang gepackt
Gruß
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,
es handelt sich in der Tat um die Funktion. Sorry Kroni!
Aber was meinst du mit von oben und unten annähern genau?
Muss ich beispielsweise in den Zähler und Nenner z.B. 1 einsetzen und dann noch beispielsweise -2???
Oder darf man nur bestimmte Zahlen oben und unten einsetzen die aber einmal <-1 und einmal >-1 sind????
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Hallo marcy-marc!
Ja, man könnte nun einfach Werte einsetzen, die nahe bei [mm] $x_0 [/mm] \ = \ -1$ liegen (einmal größer, einmal kleiner).
(Mathematisch) sauberer ist es aber, wenn Du hier folgende Grenzwertbetrachtungen durchführst:
[mm] $\limes_{x\rightarrow-1\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f\left(-1-\bruch{1}{n}\right) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\left(-1-\bruch{1}{n}\right)^2+\left(-1-\bruch{1}{n}\right)+1}{2*\left(-1-\bruch{1}{n}\right)+2} [/mm] \ = \ ...$
[mm] $\limes_{x\rightarrow-1\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f\left(-1+\bruch{1}{n}\right) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\left(-1+\bruch{1}{n}\right)^2+\left(-1+\bruch{1}{n}\right)+1}{2*\left(-1+\bruch{1}{n}\right)+2} [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo,
aber ich könnte auch für x<-1 ..... -2 in Zähler und Nenner einsetzen und danach analog 1 für x>-1 einsetzen?
Kann mir das mal jemand ganz salopp und pauschal erklären ganz ohne Beweise und wissenschaftlichem Background...sorry liebe Matheprofis aber zum verstehen brauch ich da wirklich ne praktische Antwort.
 liebe Grüße
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Hallo Marc, ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
ich versuche mal zu erklären, was Roadrunner meint.
Also er hat sich zwei Folgen hergenommen, [mm] a_n=\left(-1+\bruch{1}{n}\right)_n [/mm] und [mm] b_n=\left(-1-\bruch{1}{n}\right)_n
[/mm]
Nun, beide Folgen [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] streben für [mm] n\rightarrow\infty [/mm] gegen -1
Die Folge [mm] a_n [/mm] von oben, denn alle [mm] a_n [/mm] sind > -1
Die Folge [mm] b_n [/mm] von unten, denn alle [mm] b_n [/mm] sind < -1
ok soweit?
Nun hat er geschaut, was passiert, wenn du [mm] f(a_n) [/mm] und [mm] f(b_n) [/mm] betrachtest.
also [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] in die Funktionsvorschrift eingesetzen, vereinfachen und schauen, was rauskommt beim Grenzübergang [mm] n\rightarrow\infty
[/mm]
Das musst du aber selber ausrechnen ![[aetsch]](/images/smileys/aetsch.gif "[aetsch]")
Das ist der mathematische Weg.
Salopp gesprochen setzt du mit der Folge [mm] a_n [/mm] Werte in die Funktion ein, die allesamt größer als -1 sind, sich aber beliebig nahe an -1 (von oben) annähern. Du ermittelst also, wie sich die Funktionswerte in unmittelbarer Nähe rechts von -1 verhalten.
Bei [mm] b_n [/mm] ist es umgekehrt, alle [mm] b_n [/mm] sind kleiner als -1, die Annäherung geschieht von unten kommend, wieder beliebig nahe an -1. Hier ermittelst du also, wie sich die Funktionswerte in einer beliebig nahen Umgebung links von der Polstelle -1 verhalten.
Hoffe, das war einigermaßen verständlich
Lieben Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Mo 12.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
kein Ding, war meine eigene Blödheit....
Es geht ja eg. aus der Aufgabenstellung hervor, dass du die andere Klammerung meintest.
Nun ja,
Viel Spaß noch,
Sláin
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