Verhält. h: Kegel und Zylinder < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Do 20.12.2007 | | Autor: | jwacalex |
| Aufgabe | | Der Radius eines Kreiszylinders ist halb so groß wie der eines Kegels. Wie verhalten sich die Höhen der beiden Körper, wenn ihre Mantelflächen inhaltsgleich sind? |
Mantel des Kegels:
[mm] 2*r*\pi*\wurzel{h_{kegel}^{2}+r^{2}}
[/mm]
Mantel des Zylinders:
[mm] 2*\pi*r*h_{zylinder}
[/mm]
Gleichsetzen der Mantelflächen:
[mm] 2*\pi*r*h_{zylinder} [/mm] = [mm] 2*r*\pi*\wurzel{h_{kegel}^{2}+r^{2}} [/mm]
Kürzen von [mm] 2*\pi*r:
[/mm]
[mm] h_{zylinder} [/mm] = [mm] \wurzel{h_{kegel}^{2}+r^{2}} [/mm]
Quadrieren der Gleichung:
[mm] h_{zylinder}^{2} [/mm] = [mm] h_{kegel}^{2} +r^{2}
[/mm]
Umstellen:
[mm] h_{zylinder}^{2} [/mm] - [mm] h_{kegel}^{2} [/mm] = [mm] r^{2}
[/mm]
Und damit wäre ich am Ende. Leider kann ich mir kein Verhältnis daraus schließen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Do 20.12.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Der Radius eines Kreiszylinders ist halb so groß wie der
> eines Kegels. Wie verhalten sich die Höhen der beiden
> Körper, wenn ihre Mantelflächen inhaltsgleich sind?
Du hast vergessen, dass [mm] r_{z}=\bruch{1}{2}r_{k}
[/mm]
> Mantel des Kegels:
> [mm]2*r*\pi*\wurzel{h_{kegel}^{2}+r^{2}}[/mm]
>
> Mantel des Zylinders:
> [mm]2*\pi*r*h_{zylinder}[/mm]
[mm] =2*\pi*\bruch{1}{2}r_{k}*h_{zylinder}
[/mm]
[mm] =\pi*r_{k}*h_{z}
[/mm]
>
> Gleichsetzen der Mantelflächen:
> [mm]2*\pi*r*h_{zylinder}[/mm] =
> [mm]2*r*\pi*\wurzel{h_{kegel}^{2}+r^{2}}[/mm]
Die Idee ist richtig
[mm] \underbrace{\pi*r_{k}*h_{z}}_{Zylinder}=\underbrace{2\pi*r_{k}\wurzel{h_{k}^{2}+r{k}^{2}}}_{Kegel}
[/mm]
[mm] \gdw h_{z}=2\wurzel{r_{k}²+h_{k}²}
[/mm]
[mm] \gdw h_{z}²=4r_{k}²+4h_{k}²
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Do 20.12.2007 | | Autor: | jwacalex |
mein problem ist, wie ich das verhältnis herleite aus der letzten zeile
genauso:
>Du hast vergessen, dass $ [mm] r_{z}=\bruch{1}{2}r_{k}
[/mm]
ich habe r nicht von dem Kegel auf den Zylinder sondern von dem Zylinder auf den Kegel bezogen
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Hallo,
Kegel:
[mm] A_K=\pi*r_K*s [/mm]
[mm] A_K=\pi*r_K*\wurzel{r_K^{2}+h_k^{2}}
[/mm]
jetzt gilt: [mm] r_K=2*r_Z
[/mm]
[mm] A_K=\pi*2*r_z*\wurzel{(2*r_Z)^{2}+h_k^{2}} [/mm] den Faktor 2 in der Klammer unter der Wurzel hattest du vergessen
[mm] A_K=2\pi*r_z*\wurzel{4*r_Z^{2}+h_k^{2}}
[/mm]
Zylinder:
[mm] A_Z=2\pi*r_Z*h_z
[/mm]
jetzt gleichsetzen
[mm] 2\pi*r_z*\wurzel{4*r_Z^{2}+h_k^{2}}=2\pi*r_Z*h_z
[/mm]
[mm] \wurzel{4*r_Z^{2}+h_k^{2}}=h_z
[/mm]
[mm] 4*r_Z^{2}+h_k^{2}=h_Z^{2}
[/mm]
[mm] \bruch{h_Z^{2}}{h_k^{2}}=\bruch{4*r_Z^{2}}{h_k^{2}}+1
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Do 20.12.2007 | | Autor: | jwacalex |
> [mm] \bruch{h_Z^{2}}{h_k^{2}}=\bruch{4\cdot{}r_Z^{2}}{h_k^{2}}+1 [/mm]
irgendwie stimmt meiner meinung nach das verhältnis nicht.
wie kommt man von diesem schritt [mm] (4\cdot{}r_Z^{2}+h_k^{2}=h_Z^{2}) [/mm] auf den nächsten?
*edit* ich meine was für einen sinn hat es?
das verhältnis bezieht sich doch dann auf sich selbst
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Do 20.12.2007 | | Autor: | chrisno |
$ [mm] 4\cdot{}r_Z^{2}+h_k^{2}=h_Z^{2} [/mm] $
Teilen durch [mm] $h_k^{2}$
[/mm]
$ [mm] \bruch{4\cdot r_Z^2}{h_k^2}+1=\bruch{h_Z^2}{h_k^2} [/mm] $
Ein "richtiges" Verhältnis, in der Art
$ [mm] \bruch{h_Z}{h_k}= [/mm] 27 [mm] r_Z [/mm] $
kommt hier nicht heraus. Das kannst Du Dir auch klarmachen.
Selbst wenn der Kegel die Höhe Null hat, dann hat er immer noch eine Mantelfläche. Daher muss die Höhe des Zylinders ungleich Null sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:07 Do 20.12.2007 | | Autor: | jwacalex |
Also, wenn ich das richtig verstanden habe, ist diese Aufgabe nicht lösbar, also jedenfalls nach ihrer Fragestellung nicht.
Vielen Dank an alle.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 Do 20.12.2007 | | Autor: | chrisno |
Nein, Du legst nur den Begriff Verhälnis zu streng aus.
Die Lösung steht da.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:26 Fr 21.12.2007 | | Autor: | jwacalex |
aber ein verhältnis kann sich doch nicht auf sich selbst beziehen oder sehe ich das falsch und hier liegt mein Denkfehler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 Fr 21.12.2007 | | Autor: | chrisno |
"Wie verhalten sich die Höhen der beiden Körper, wenn ihre Mantelflächen inhaltsgleich sind?"
Da steht nicht: "Wie lautet der Quotient (= Verhältnis) ..."
Wenn Du mit jemand anderem ein Verhältnis eingehst, dann denkst Du hoffentlich nicht nur an Quotienten.
Eine zu pauschale Antwort auf die Frage könnte sein: "Wenn die eine Höhe größer wird, wird die andere auch größer."
Wenn ich einen Antwortsatz schreiben müsste, würde der so lauten:
Die beiden Höhen verhalten sich folgendermaßen zueinander:
Das Quadrat der Zylinderhöhe ist gleich dem Quadrat der Kegelhöhe vermehrt um das vierfache des Quadrats des Zylinderradius.
Auch wenn meistens mit einem Verhältnis ein Quotient gemeint ist, in der Aufgabe wird nicht nach dem Verhältnis sondern nach dem Verhalten gefragt. Ich hätte auch zuerst versucht, einen Quotienten anzugeben. Da es aber nicht geht, ist das offensichtlich nicht gemeint.
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