Verflixte Integration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo ihr!
Ich sitze jetzt schon seit Längerem an einem Integral, bei dem ich einfach nicht weiterkomme. Es geht um das Flächenintegral von [mm] f(x,y)=\bruch{(x^{2}+y^{2})}{(x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}+1)} [/mm] über das Gebiet G mit [mm] 1\le x^{2}+y^{2}\le2 [/mm]
Ich komme im Prinzip nur soweit, dass ich f zu [mm] \bruch{(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^2+1} [/mm] umformen kann.
Meine Integrationsgrenzen sind, soweit ich nicht irre, wie folgt: [mm] \integral_{1}^{\wurzel{2}}{dx}\integral_{\wurzel{(1-x^{2})}}^{\wurzel{(2-x^2)}}{f(x,y) dy}
[/mm]
Nun das Problem: ich hab alles versucht. Substitution mit [mm] u=x^{2}+y^{2}, [/mm] mit [mm] u=\wurzel{x^{2}+y^{2}}, u=\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}} [/mm] und so weiter. Und nichts scheint das ganze wirklich zu vereinfachen. Ich gehe mal davon aus, dass ich etwas extrem Wichtiges übersehen habe. Weiß jemand, was?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 So 07.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo ihr!
>
> Ich sitze jetzt schon seit Längerem an einem Integral, bei
> dem ich einfach nicht weiterkomme. Es geht um das
> Flächenintegral von
> [mm]f(x,y)=\bruch{(x^{2}+y^{2})}{(x^{4}+y^{4}+2x^{2}y^{2}+1)}[/mm]
> über das Gebiet G mit [mm]1\le x^{2}+y^{2}\le2[/mm]
>
> Ich komme im Prinzip nur soweit, dass ich f zu
> [mm]\bruch{(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^2+1}[/mm] umformen kann.
Das ist schonmal sehr gut, das heisst nämlich, dass sich die Umformung in Polarkoordinaten anbietet.
> Meine Integrationsgrenzen sind, soweit ich nicht irre, wie
> folgt:
> [mm]\integral_{1}^{\wurzel{2}}{dx}\integral_{\wurzel{(1-x^{2})}}^{\wurzel{(2-x^2)}}{f(x,y) dy}[/mm]
>
> Nun das Problem: ich hab alles versucht. Substitution mit
> [mm]u=x^{2}+y^{2},[/mm] mit [mm]u=\wurzel{x^{2}+y^{2}}, u=\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}[/mm]
> und so weiter. Und nichts scheint das ganze wirklich zu
> vereinfachen. Ich gehe mal davon aus, dass ich etwas extrem
> Wichtiges übersehen habe. Weiß jemand, was?
Ich würde das Integrationsgebiet in Polarkoordinaten [mm] $x=r\cos\phi$, $y=r\sin\phi$ [/mm] beschreiben. Da der Integrand nur von [mm] $x^2+y^2=r^2$ [/mm] abhängt, wird die Integration sehr einfach.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
