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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 So 09.10.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Man betrachte das AWP [mm] $y'=y^{2/3}, y(0)=y_{0}$
[/mm]
a) Die Lösung werde numerisch berechnet mit dem Verfahren von HEUN: Für $y'=f(x,y)$ lautet es :
[mm] $y_{n+1}=y_{n}+\frac{h}{2}(f(x_{n},y_{n})+f(x_{n+1},x_{n}+hf(x_{n},y_{n}))), x_{n}=nh$
[/mm]
Welche Lösung liefert das HEUN Verfahren für das genannte AWP mit [mm] $y_{0}=0$ [/mm] ?
b) Man löse das AWP mit [mm] $y_{0}=\epsilon [/mm] > 0$. Sei [mm] $y_{\epsilon}(x)$ [/mm] die Lösung. Berechnen Sie [mm] $\lim_{\epsilon \downarrow 0} y_{\epsilon}(x)$ [/mm] |
Hallo!
a) mit [mm] $y_{0}=0$ [/mm] ist : [mm] $f(x_{n},y_{n}) [/mm] = 0$ und [mm] $x_{0}= [/mm] 0$ , [mm] $x_{1}= [/mm] h$ und [mm] $f(x_{n+1},x_{n}+hf(x_{n},y_{n})) [/mm] = 0 $ Also liefert das HEUN Verfahren für
[mm] $y_{1}= y_{0} [/mm] + [mm] \frac{h}{2}(f(x_{0},y_{0})+f(x_{1},x_{0}+hf(x_{0},y_{0}))) [/mm] = 0 + [mm] \frac{h}{2}(f(0,0)+f(h,0))) [/mm] = 0$
b) [mm] $y_{\epsilon}(x) [/mm] = [mm] \epsilon [/mm] + [mm] \frac{h}{2}(f(0,0) [/mm] + f(h, [mm] hf(0,\epsilon))) [/mm] = [mm] \epsilon [/mm] + [mm] \frac{h}{2}((h\epsilon^{2/3})^{2/3}))$
[/mm]
Also geht $ [mm] \lim_{\epsilon \downarrow 0} y_{\epsilon}(x) \rightarrow [/mm] 0$
Stimmt das so??
Danke für jegliche Hilfe!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:25 Mo 10.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) seh ich keinen Fehler.
allerdings dachte ich du solltest auf [mm] y_n [/mm] schließen, nicht nur [mm] y_1
[/mm]
was du in b für f(0,0) + f(h, [mm] hf(0,\epsilon))eingesetz [/mm] hast, versteh ich nicht das sollte doch [mm] \epsilon^{2/3}+h*\epsilon^{2/3} [/mm] sein?
und d.h. y1>y1 wie kommst du von da zu deinem GW?
soll denn b) noch numerisch gelost werden ? dann musst du was über [mm] y_n [/mm] sagen, ich verstand b so, dass du explizit löst,
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 Mo 10.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo leduart,
> b explizit
OK.
> gruss leduart
Vielen Dank.
Gruss
kushkush
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