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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Do 05.05.2011 | | Autor: | Pia90 |
| Aufgabe | [mm] M_i [/mm] Mengen für i [mm] \in \IN_0
[/mm]
[mm] M_0 [/mm] := [mm] \emptyset [/mm]
[mm] M_i \green{\subseteq} M_{i+1} [/mm] für alle i [mm] \in \IN_0
[/mm]
Weiter sei [mm] N_i [/mm] := [mm] M_i [/mm] \ [mm] M_{i-1}
[/mm]
zu zeigen: [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} M_i [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} N_i [/mm] |
Hallo zusammen,
ich versuche mich gerade an diesem Beweis, stecke aber irgendwie fest.
Ich habe wie folgt angefangen
[mm] \forall [/mm] i [mm] \in \IN_0 [/mm] ist [mm] M_i \green{\subseteq} M_{i+1} [/mm]
[mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} N_i [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}( M_i [/mm] \ [mm] M_{i-1}) [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} (M_{i-1})^c
[/mm]
jetzt hatte ich überlegt, De Morgan anzuwenden, aber das bringt mich nicht wirklich weiter... Ich muss ja irgendwann auf [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} M_i [/mm] kommen, aber irgendwie stecke ich fest...
Oder bin ich bereits jetzt total auf dem Holzweg?
Über Anregungen, Hilfen, Tipps, egal was, würde ich mich sehr freuen :)
LG Pia
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Hallo Pia,
die Behauptung ist ja nahezu offensichtlich.
Es gilt doch:
$ [mm] M_i=M_{i-1}\cup N_i [/mm] $ für $ [mm] i\ge1 [/mm] $
Damit kannst Du leicht zeigen: [mm]M_n=\bigcup_{i=1}^{n} N_i[/mm]
Und dass [mm]M_n=\bigcup_{i=1}^{n} M_i[/mm] ist, ist wg. $ [mm] M_{i-1}\subseteq M_i [/mm] $ ebenfalls leicht zu zeigen.
Alles klar?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 Do 05.05.2011 | | Autor: | Pia90 |
Danke, das klingt gut :)
Ich glaube ich habe es mir gerade ein wenig kompliziert gemacht, denn ich habe erst gezeigt, dass [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} N_i \subseteq\bigcup_{i=1}^{\infty} M_i [/mm] und [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} N_i\supseteq\bigcup_{i=1}^{\infty}M_i [/mm] ... sollte auch nicht falsch sein denke ich :) aber ich werds auch noch mal anders versuchen zu beweisen, vielleicht ein schnellerer Weg :)
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