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Forum "Analysis-Sonstiges" - Vereinfachung einer quad. Gl.
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Vereinfachung einer quad. Gl.: Aufgabe 2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:58 Fr 17.08.2007
Autor: Vyse

Aufgabe
[mm] \bruch{2z+1}{z^{2}-4} [/mm] = [mm] \bruch{z+3}{z^{2}-3z+2} [/mm]

a) Bestimmen Sie ihren Definitionsbereich

b) Machen Sie die Gleichung nennerfrei (mit kgV der Nenner multiplizieren) und bestimmen Sie die Lösungsmenge der ursprünglichen Gleichung.

a) z [mm] \subset \IR \backslash [/mm] {-2;2;1}

Wahrscheinlich ist die Syntax der Angabe für den Definitionsbereich auch
nicht ganz korrekt.

b)
Hier liegt mein Anliegen um eine Lösungshilfe.
Mir schien die Aufgabe zu Beginn recht simpel und dennoch vermochte
ich sie auch nach langem herumprobieren nicht zu lösen.
Ich denke, dass der Fehler irgendwo zu beginn in einer versäumten
Vereinfachung liegt, woraus sich wahrscheinlich diese unnötig komplexen Terme ergaben.
Mein Lösungsversuch:

[mm] \bruch{2z+1}{z^{2}-4} [/mm] = [mm] \bruch{z+3}{z^{2}-3z+2} [/mm]   / [mm] *(z^{2}-3z+2) [/mm]
[mm] (z^{2}-3z+2)*\bruch{2z+1}{z^{2}-4} [/mm] = z+3                / [mm] *(z^{2}-4) [/mm]
[mm] (z^{2}-3z+2)*(2z+1) [/mm] = [mm] (z+3)*(z^{2}-4) [/mm]                        / ausmultiplizieren
[mm] 2z^{3}+z^{2}-6z^{2}-3z+4z+2 [/mm] = [mm] z^{3}-4z+3z^{2}-12 [/mm]
[mm] z^{3} [/mm] - [mm] 5z^{2}+z+2 [/mm] = [mm] 3z^{2}-4z-12 [/mm]                            / -4z-12
[mm] z^{3} [/mm] - [mm] 5z^{2}+5z+14 [/mm] = [mm] 3z^{2} [/mm]                                  / [mm] -3z^{2} [/mm]
[mm] z^{3} [/mm] - [mm] 8z^{2}+5z+14 [/mm] = 0

Man könnte evtl. noch ausklammern, danach
brachte mich keine weitere Überlegung zu einer
noch einfacheren Form.

[mm] z(z^{2}-8z+5)+14 [/mm] = 0

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Vereinfachung einer quad. Gl.: Tipps
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:03 Fr 17.08.2007
Autor: Loddar

Hallo Vyse,

[willkommenmr] !!



>  a) z [mm]\subset \IR \backslash[/mm] {-2;2;1}

[ok]

  
> Wahrscheinlich ist die Syntax der Angabe für den
> Definitionsbereich auch nicht ganz korrekt.

Ich würde es etwas anders schreiben (aber nur etwas anders ;-) ):

$D \ = \ [mm] \IR [/mm] \ [mm] \backslash [/mm] \ [mm] \left\{ \ -2 \ ; \ 1 \ ; \ 2 \ \right\}$ [/mm]

  
> b)

> [mm]\bruch{2z+1}{z^{2}-4}[/mm] = [mm]\bruch{z+3}{z^{2}-3z+2}[/mm]   /  [mm]*(z^{2}-3z+2)[/mm]

Du kannst Dir die Sache erheblich vereinfachen, wenn Du Dir die Nenner in der faktoriserten Form aufschreibst:

[mm] $\bruch{2z+1}{(z+2)*(z-2)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{z+3}{(z-1)*(z-2)}$ [/mm]

Dann sieht man nämlich, dass die Multiplikation mit $(z-2)_$ ziemlich schnell geht:

[mm] $\bruch{2z+1}{z+2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{z+3}{z-1}$ [/mm]

Und nun mit $(z+2)*(z-1)_$ multiplizieren:

$(2z+1)*(z-1) \ = \ (z+3)*(z+2)$

Damit verbleibt auch eine quadratische Gleichung, die Du sicher lösen kannst ...


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Vereinfachung einer quad. Gl.: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 10:06 Sa 18.08.2007
Autor: Vyse

Hallo, vielen Dank für die Antwort ^_^
Die Aufgabe konnte ich so mit Leichtigkeit lösen.
Ich übersehe wohl zu schnell, dass man gewisse
Terme in solche Faktoren zerlegen kann, wird man dann darauf hingewiesen, erscheint es natürlich als offensichtlich. <_<

Die Gleichung lässt sich noch wie folgt vereinfachen und lösen:

[mm] 2z^{2}-z-1 [/mm] = [mm] z^{2}+5z+6 [/mm]                / [mm] -z^{2},-5z-6 [/mm]
[mm] z^{2}-6z-7 [/mm] = 0

[mm] D=6^{2}-(-28)=64 [/mm]

[mm] x_{1}=\bruch{6+8}{2}=7 [/mm]
[mm] x_{2}=\bruch{6-8}{2}=-1 [/mm]

Grüsse, Vyse
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