Vereinfachung einer Stammfkt. < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Do 26.02.2009 | | Autor: | richie90 |
| Aufgabe | | F(x) = [mm] ln(x+\wurzel{x^{2}+1})+\bruch{x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+x^{2}+1}{1}-\bruch{1}{x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+x^{2}+1} [/mm] |
Kann man das noch weiter vereinfachen?
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Hallo Richie,
> F(x) =
> [mm]ln(x+\wurzel{x^{2}+1})+\bruch{x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+x^{2}+1}{1}-\bruch{1}{x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+x^{2}+1}[/mm]
> Kann man das noch weiter vereinfachen?
Ja, vereinfache Zähler bzw. Nenner in den letzten beiden Termen, mache gleichnamig und fasse dann zusammen.
Kontrolle: [mm] $...=\ln(...)+4x\sqrt{x^2+1}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Do 26.02.2009 | | Autor: | richie90 |
| Aufgabe | F(x) = [mm] ln(x+\wurzel{x^{2}+1})+\bruch{x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+x^{2}+1}{1}-\bruch{1}{x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+x^{2}+1}
[/mm]
= [mm] ln(x+\wurzel{x^{2}+1})+\bruch{2x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+1}{1}-\bruch{1}{2x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+1}
[/mm]
= [mm] ln(x+\wurzel{x^{2}+1})+\bruch{(2x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+1)(2x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+1)}{2x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+1}-\bruch{1}{2x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+1}
[/mm]
= [mm] ln(x+\wurzel{x^{2}+1})+\bruch{8x^{4}+8x^{3}\wurzel{x^{2}+1}+8x^{2}+4x\wurzel{x^{2}+1}}{2x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+1} [/mm] |
Wie kommst du auf dein Ergebnis?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Do 26.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo richie!
Erweitere den Bruch mit [mm] $\left[\left(2x^2+1\right) \ \red{-} \ 2x*\wurzel{x^2+1} \ \right]$ [/mm] .
Dies solltest Du auch sofort mit dem hinteren Bruch machen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Do 26.02.2009 | | Autor: | richie90 |
| Aufgabe | F(x) = [mm] ln(x+\wurzel{x^{2}+1})+\bruch{2x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+1}{1}-\bruch{1}{2x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+1}
[/mm]
Erweitern mit [mm] [(2x^2+1)^2-2x\wurzel{x^2+1}] [/mm] |
Wie bist du darauf gekommen, den Bruch mit genau diesem Term zu erweitern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Do 26.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo richie!
So erhalte ich eine 3. binomische Formel und kann die Wurzel "rausschmeißen" ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Fr 27.02.2009 | | Autor: | richie90 |
Hast du durch Ausprobieren herausgefunden, womit du die Brüche erweitern musst?
Ich versuche zu verstehen, wie du auf den Erweiterungsterm gekommen bist, weil auf den muss man erstmal kommen.
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Hallo richie,
das ist sozusagen ein Standardtrick, der sich eben deswegen zu lernen lohnt.
Insbesondere, wenn "so etwas" im Nenner steht, will man das ja weghaben.
Da ist es gut, die 3. binomische Formel anwenden zu können, notfalls sogar in mehreren Schritten. Erst einmal ist aber
[mm] (a+\wurzel{b})(a-\wurzel{b})=a^2-b
[/mm]
[mm] (\wurzel{c}+\wurzel{d})(\wurzel{c}-\wurzel{d})=c-d
[/mm]
Wurzelfreie Zone voraus...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 So 01.03.2009 | | Autor: | richie90 |
| Aufgabe | [mm] F(x)=ln(x+\wurzel{x^{2}+1})+\bruch{2x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+1}{1}-\bruch{1}{2x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+1}
[/mm]
Du schreibst:
[mm] (a+\wurzel{b})(a-\wurzel{b})=a^2-b [/mm] und
[mm] (\wurzel{c}+\wurzel{d})(\wurzel{c}-\wurzel{d})=c-d [/mm] |
Mir ist nicht klar, wie ich deinen Lösungsansatz auf mein Problem anwenden soll, weil ich ja am Ende noch die "1" da stehen habe.
Mit freundlichen Grüßen,
Richie
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Hallo richie90,
>
> [mm]F(x)=ln(x+\wurzel{x^{2}+1})+\bruch{2x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+1}{1}-\bruch{1}{2x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+1}[/mm]
>
> Du schreibst:
>
> [mm](a+\wurzel{b})(a-\wurzel{b})=a^2-b[/mm] und
> [mm](\wurzel{c}+\wurzel{d})(\wurzel{c}-\wurzel{d})=c-d[/mm]
> Mir ist nicht klar, wie ich deinen Lösungsansatz auf mein
> Problem anwenden soll, weil ich ja am Ende noch die "1" da
> stehen habe.
Erweitere
[mm]\bruch{1}{2x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+1}=\bruch{1}{2x^{2}+1+2x\wurzel{x^{2}+1}}[/mm]
mit
[mm]\bruch{2x^{2}+1-2x\wurzel{x^{2}+1}}{2x^{2}+1-2x\wurzel{x^{2}+1}}[/mm]
>
> Mit freundlichen Grüßen,
>
> Richie
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 So 01.03.2009 | | Autor: | richie90 |
| Aufgabe | F(x) = [mm] ln(x+\wurzel{x^{2}+1}) [/mm] + [mm] \bruch{2x^{2}+1+2x\wurzel{x^{2}+1}}{1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2x^{2}+1+2x\wurzel{x^{2}+1}}
[/mm]
= [mm] ln(x+\wurzel{x^{2}+1}) [/mm] + [mm] \bruch{2x^{2}+1+\wurzel{4x^2(x^{2}+1)}}{1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2x^{2}+1+\wurzel{4x^2(x^{2}+1)}}
[/mm]
3. binomische Formel: [mm] (a+\wurzel{b})(a-\wurzel{b}) [/mm] = [mm] a^2-b
[/mm]
hier: a = [mm] 2x^2+1; [/mm] b = [mm] 4x^2(x^2+1) [/mm] = [mm] 4x^4 [/mm] + [mm] 4x^2
[/mm]
=> F(x) = [mm] ln(x+\wurzel{x^{2}+1}) [/mm] + [mm] \bruch{(2x^2+1)^2-(4x^4+4x^2)}{1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(2x^2+1)^2-(4x^4+4x^2)}
[/mm]
= [mm] ln(x+\wurzel{x^{2}+1}) [/mm] |
Ich kann keinen Fehler entdecken.
Das Problem ist aber, dass wir im Unterricht für f(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1+x^2}} [/mm] als Stammfunktion F(x) = [mm] ln(x+\wurzel{x^2+1}) [/mm] raushatten.
Und g(x) = [mm] \wurzel{1+x^2} [/mm] kann doch nicht dieselbe Stammfunktion haben wie f(x)!?
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> F(x) = [mm]ln(x+\wurzel{x^{2}+1})[/mm] +
> [mm]\bruch{2x^{2}+1+2x\wurzel{x^{2}+1}}{1}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2x^{2}+1+2x\wurzel{x^{2}+1}}[/mm]
>
> = [mm]ln(x+\wurzel{x^{2}+1})[/mm] +
> [mm]\bruch{2x^{2}+1+\wurzel{4x^2(x^{2}+1)}}{1}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2x^{2}+1+\wurzel{4x^2(x^{2}+1)}}[/mm]
>
> 3. binomische Formel: [mm](a+\wurzel{b})(a-\wurzel{b})[/mm] = [mm]a^2-b[/mm]
>
> hier: a = [mm]2x^2+1;[/mm] b = [mm]4x^2(x^2+1)[/mm] = [mm]4x^4[/mm] + [mm]4x^2[/mm]
>
> => F(x) = [mm]ln(x+\wurzel{x^{2}+1})[/mm] + [mm] \red{\bruch{(2x^2+1)^2-(4x^4+4x^2)}{1}- \bruch{1}{(2x^2+1)^2-(4x^4+4x^2)}}
[/mm]
>
> = [mm]ln(x+\wurzel{x^{2}+1})[/mm]
> Ich kann keinen Fehler entdecken.
Hallo,
ist Du Dir sicher, daß das Rote =0 ist?
gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Fr 27.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo richie!
Mit der 3. binomischen Formel im Hinterkopf habe ich alles an "Nichtwurzel" zusammengefasst und den Wurzelterm so seperiert (beachte auch meine Klammersetzung in meiner obigen Antwort).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 So 01.03.2009 | | Autor: | richie90 |
| Aufgabe | Wenn ich die beiden Brüche [mm] (\bruch{2x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+1}{1} [/mm] und [mm] \bruch{1}{2x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+1}) [/mm] in meiner Stammfunktion jeweils mit deinem vorgeschlagenen Term [mm] [(2x^2+1)-2x\wurzel{x^2+1}] [/mm] erweitere, steht da dann:
F(x) = [mm] ln(x+\wurzel{x^{2}+1}) [/mm] + [mm] \bruch{(2x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+1)\*[(2x^2+1)-2x\wurzel{x^2+1}]}{1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{(2x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+1)\*[(2x^2+1)-2x\wurzel{x^2+1}]}
[/mm]
= [mm] ln(x+\wurzel{x^{2}+1}) [/mm] + [mm] \bruch{2x^2(2x^2+1)^2-4x^3\wurzel{x^2+1}+2x(2x^2+1)^2\wurzel{x^2+1}-4x^2(x^2+1)+(2x^2+1)^2-2x\wurzel{x^2+1}}{1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2x^2(2x^2+1)^2-4x^3\wurzel{x^2+1}+2x(2x^2+1)^2\wurzel{x^2+1}-4x^2(x^2+1)+(2x^2+1)^2-2x\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
= [mm] ln(x+\wurzel{x^{2}+1}) [/mm] + [mm] \bruch{2x^2(4x^4+4x^2)+(8x^5+4x^3)\wurzel{x^2+1}+1}{1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2x^2(4x^4+4x^2)+(8x^5+4x^3)\wurzel{x^2+1}+1} [/mm] |
Mist, ich habe es nicht so hinbekommen, wie es eigentlich hätte laufen sollen.
Was habe ich falsch gemacht?
Oder wie sieht dein Lösungsweg aus?
Mit freundlichen Grüßen,
Richie
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Hallo richie90,
> Wenn ich die beiden Brüche
> [mm](\bruch{2x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+1}{1}[/mm] und
> [mm]\bruch{1}{2x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+1})[/mm] in meiner
> Stammfunktion jeweils mit deinem vorgeschlagenen Term
> [mm][(2x^2+1)-2x\wurzel{x^2+1}][/mm] erweitere, steht da dann:
>
> F(x) = [mm]ln(x+\wurzel{x^{2}+1})[/mm] +
> [mm]\bruch{(2x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+1)\*[(2x^2+1)-2x\wurzel{x^2+1}]}{1}[/mm]
> -
> [mm]\bruch{1}{(2x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+1)\*[(2x^2+1)-2x\wurzel{x^2+1}]}[/mm]
>
> = [mm]ln(x+\wurzel{x^{2}+1})[/mm] +
> [mm]\bruch{2x^2(2x^2+1)^2-4x^3\wurzel{x^2+1}+2x(2x^2+1)^2\wurzel{x^2+1}-4x^2(x^2+1)+(2x^2+1)^2-2x\wurzel{x^2+1}}{1}[/mm]
> -
> [mm]\bruch{1}{2x^2(2x^2+1)^2-4x^3\wurzel{x^2+1}+2x(2x^2+1)^2\wurzel{x^2+1}-4x^2(x^2+1)+(2x^2+1)^2-2x\wurzel{x^2+1}}[/mm]
>
> = [mm]ln(x+\wurzel{x^{2}+1})[/mm] +
> [mm]\bruch{2x^2(4x^4+4x^2)+(8x^5+4x^3)\wurzel{x^2+1}+1}{1}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2x^2(4x^4+4x^2)+(8x^5+4x^3)\wurzel{x^2+1}+1}[/mm]
> Mist, ich habe es nicht so hinbekommen, wie es eigentlich
> hätte laufen sollen.
> Was habe ich falsch gemacht?
> Oder wie sieht dein Lösungsweg aus?
Erweitere hier nur den Bruch
[mm]\bruch{1}{2x^{2}+2x\wurzel{x^{2}+1}+1}=\bruch{1}{\left(2x^{2}+1\right)+2x\wurzel{x^{2}+1}[/mm]
mit
[mm]\bruch{\left(2x^{2}+1\right)-2x\wurzel{x^{2}+1}}{\left(2x^{2}+1\right)-2x\wurzel{x^{2}+1}}[/mm]
Berechne also
[mm]\bruch{1}{\left(2x^{2}+1\right)+2x\wurzel{x^{2}+1}}*\bruch{\left(2x^{2}+1\right)-2x\wurzel{x^{2}+1}}{\left(2x^{2}+1\right)-2x\wurzel{x^{2}+1}}= \cdots [/mm]
>
> Mit freundlichen Grüßen,
>
> Richie
Gruß
MathePower
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Ich habe deine Stammfunktion abgeleitet und das Ergebnis
vereinfacht:
[mm] \bruch{5+8x^2}{\wurzel{1+x^2}} [/mm]
Dann habe ich dies (mittels Mathematica) wieder
integriert und kam dabei auf:
[mm] 4x\wurzel{1+x^2}+ArSinh(x)
[/mm]
Dies muss bis auf einen allfälligen konstanten
Summanden mit deinem Term übereinstimmen.
LG
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