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Forum "Trigonometrische Funktionen" - Vereinfachen mit sin,cos,tan
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Vereinfachen mit sin,cos,tan: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:15 So 11.10.2009
Autor: Sanny

Hallo,

ich habe schon wieder so eine Aufgabe, an der ich verzweifel.

Aufgabenstellung: Vereinfachen Sie.

Lösung: [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sin2x


Aufgabe: sin2x - [mm] \bruch{tan x}{1 + tan^{2} x} [/mm]


Ich habe so angefangen:

= sin2x - [mm] \bruch{\bruch{sinx}{cosx}}{\bruch{1}{cos^{2} x}} [/mm]

= sin2x - [mm] \bruch{sinx}{cosx} \bruch{cos^{2} x}{1} [/mm]

= sin2x - [mm] \bruch{sinx cos^{2}x}{cosx} [/mm]

= sin2x - [mm] \bruch{sinx (\bruch{1}{2} (1 + cos2x)}{cosx} [/mm]

bis hierhin glaub ich, bin ich auf dem richtigen Weg...;-)

und so hab ich weiter gemacht:

= [mm] \bruch{sin2xcosx - sinx (\bruch{1}{2} (1 + cos2x)}{cosx} [/mm]

und jetzt weiß ich nicht weiter. Hab auch schon versucht die Klammer aufzulösen, aber dann komm ich auch nicht weiter.... [verwirrt]

        
Bezug
Vereinfachen mit sin,cos,tan: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:24 So 11.10.2009
Autor: abakus


> Hallo,
>  
> ich habe schon wieder so eine Aufgabe, an der ich
> verzweifel.
>  
> Aufgabenstellung: Vereinfachen Sie.
>  
> Lösung: [mm]\bruch{1}{2}[/mm] sin2x
>  
>
> Aufgabe: sin2x - [mm]\bruch{tan x}{1 + tan^{2} x}[/mm]
>  
>
> Ich habe so angefangen:
>  
> = sin2x - [mm]\bruch{\bruch{sinx}{cosx}}{\bruch{1}{cos^{2} x}}[/mm]
>  
> = sin2x - [mm]\bruch{sinx}{cosx} \bruch{cos^{2} x}{1}[/mm]
>  
> = sin2x - [mm]\bruch{sinx cos^{2}x}{cosx}[/mm]
>  
> = sin2x - [mm]\bruch{sinx (\bruch{1}{2} (1 + cos2x)}{cosx}[/mm]

Autsch! Das nennt man "verschlimmbessern".
Kürze lieber eine Zeile höher cos x.
Für sin(2x) gilt übrigens die Doppelwinkelformel als Spezielfall des MBAdditionstheorems für [mm] sin(\alpha+\alpha) [/mm] .
Gruß Abakus
>  
> bis hierhin glaub ich, bin ich auf dem richtigen Weg...;-)
>  
> und so hab ich weiter gemacht:
>  
> = [mm]\bruch{sin2xcosx - sinx (\bruch{1}{2} (1 + cos2x)}{cosx}[/mm]
>  
> und jetzt weiß ich nicht weiter. Hab auch schon versucht
> die Klammer aufzulösen, aber dann komm ich auch nicht
> weiter.... [verwirrt]
>  

Bezug
                
Bezug
Vereinfachen mit sin,cos,tan: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:44 So 11.10.2009
Autor: Sanny

Hm. Gut. Aber ich kriege immernoch nicht das richtige Ergebnis raus [keineahnung]

ich habe dann nach dem kürzen:

= sin2x - sinx cosx

= 2 sinx cosx - sinx cosx

= sinx cosx

= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (sin (x-x) + sin (x+x))

= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (sin + sin2x)

= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (2 sin2x)

= sin2x                 ODER???  Lösung soll ja [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sin2x sein.
Bezug
                        
Bezug
Vereinfachen mit sin,cos,tan: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:50 So 11.10.2009
Autor: ms2008de

Hallo,
> Hm. Gut. Aber ich kriege immernoch nicht das richtige
> Ergebnis raus [keineahnung]
>  
> ich habe dann nach dem kürzen:
>  
> = sin2x - sinx cosx
>  
> = 2 sinx cosx - sinx cosx
>  
> = sinx cosx
>  
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] (sin (x-x) + sin (x+x))
>  
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] (sin + sin2x)
>  

Also wenn bis dahin alles richtig war, ist hier offensichtlich der Fehler: sin(x-x)= sin 0 =0, dann würde auf jeden Fall (,vllt. auch nur durch Zufall,) das richtige Ergebnis rauskommen.
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] (2 sin2x)
>  
> = sin2x                 ODER???  Lösung soll ja
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] sin2x sein.

Viele Grüße
Bezug
                        
Bezug
Vereinfachen mit sin,cos,tan: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:13 So 11.10.2009
Autor: abakus


> Hm. Gut. Aber ich kriege immernoch nicht das richtige
> Ergebnis raus [keineahnung]
>  
> ich habe dann nach dem kürzen:
>  
> = sin2x - sinx cosx
>  
> = 2 sinx cosx - sinx cosx
>  
> = sinx cosx

Na, besser geht es doch gar nicht.
Herauskommen soll 0,5*sin(2x) ?
Das wäre also das selbe wie 0,5*(2 [mm] \sin{x} \cos{x}) [/mm] .
Und was hast du gerade eben erhalten?
>  
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] (sin (x-x) + sin (x+x))
>  
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] (sin + sin2x)
>  
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] (2 sin2x)
>  
> = sin2x                 ODER???  Lösung soll ja
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] sin2x sein.

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