Vereinfachen eines Wurzelterms < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Sa 29.03.2014 | | Autor: | clft |
| Aufgabe | Vereinfache:
[mm] \bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{(\wurzel{7}-\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})} [/mm] |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Eine Mathelehrerin an meiner Schule hat folgende Rechnung gemacht:
[mm] \bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{(\wurzel{7}-\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})} [/mm]
[mm] =\bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{(\wurzel{7}-\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})}*\bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})} {(\wurzel{7}+\wurzel{3})}
[/mm]
[mm] =\bruch{(7+2*\wurzel{21}+3)*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{7-3}
[/mm]
[mm] =\bruch{7*\wurzel{63}-7*\wurzel{7}+2*\wurzel{21*63}-2\wurzel{21*7}+3*\wurzel{63}+3*\wurzel{7}}{4}
[/mm]
[mm] =\bruch{10*\wurzel{63}-10*\wurzel{7}+2*\wurzel{21*63}-2*\wurzel{21*7}}{4}
[/mm]
[mm] =\bruch{30*\wurzel{7}-10*\wurzel{7}+42*\wurzel{3}-14*\wurzel{3}}{4}
[/mm]
[mm] =\bruch{20*\wurzel{7}+28*\wurzel{3}}{4}
[/mm]
[mm] =5*\wurzel{7}+7\wurzel{3}
[/mm]
Ich verstehe den Rechenweg leider nicht so ganz.
Danke im voraus
clft
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Sa 29.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo clft,
> Vereinfache:
>
> [mm]\bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{(\wurzel{7}-\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Eine Mathelehrerin an meiner Schule hat folgende Rechnung
> gemacht:
>
> [mm]\bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{(\wurzel{7}-\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{(\wurzel{7}-\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})}*\bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})} {(\wurzel{7}+\wurzel{3})}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{(7+2*\wurzel{21}+3)*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{7-3}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{7*\wurzel{63}-7*\wurzel{7}+2*\wurzel{21*63}-2\wurzel{21*7}+3*\wurzel{63}+3*\wurzel{7}}{4}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{10*\wurzel{63}-10*\wurzel{7}+2*\wurzel{21*63}-2*\wurzel{21*7}}{4}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{30*\wurzel{7}-10*\wurzel{7}+42*\wurzel{3}-14*\wurzel{3}}{4}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{20*\wurzel{7}+28*\wurzel{3}}{4}[/mm]
>
> [mm]=5*\wurzel{7}+7\wurzel{3}[/mm]
>
> Ich verstehe den Rechenweg leider nicht so ganz.
Sag uns doch bitte was du genau nicht verstanden hast. Der
eigentlich Trick hierbei ist die dritte binomische Formel
[mm] (a+b)(a-b)=a^2-b^2 [/mm] für alle [mm] a,b\in\IR.
[/mm]
im Nenner. Am Besten du schreibst nach jedem Gleichheits-
zeichen auf was du nicht verstanden hast.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Sa 29.03.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Vereinfache:
>
> [mm]\bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{(\wurzel{7}-\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Eine Mathelehrerin an meiner Schule hat folgende Rechnung
> gemacht:
>
> [mm]\bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{(\wurzel{7}-\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})}[/mm]
Erweitern, so dass im Nenner die 3. bin. Formel auftaucht, denn damit kannst du den Nenner wurzelfrei machen.
>
> [mm]=\bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{(\wurzel{7}-\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})}*\bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})} {(\wurzel{7}+\wurzel{3})}[/mm]
Ausmultiplizieren, im Nenner die 3. bin. F. nutzen
>
> [mm]=\bruch{(7+2*\wurzel{21}+3)*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{7-3}[/mm]
Nochmal ausmultiplizieren
>
> [mm]=\bruch{7*\wurzel{63}-7*\wurzel{7}+2*\wurzel{21*63}-2\wurzel{21*7}+3*\wurzel{63}+3*\wurzel{7}}{4}[/mm]
Zusammenfassen
>
> [mm]=\bruch{10*\wurzel{63}-10*\wurzel{7}+2*\wurzel{21*63}-2*\wurzel{21*7}}{4}[/mm]
Teilweise radizieren, wenn möglich
>
> [mm]=\bruch{30*\wurzel{7}-10*\wurzel{7}+42*\wurzel{3}-14*\wurzel{3}}{4}[/mm]
Zusammenfassen
>
> [mm]=\bruch{20*\wurzel{7}+28*\wurzel{3}}{4}[/mm]
Kürzen
>
> [mm]=5*\wurzel{7}+7\wurzel{3}[/mm]
>
> Ich verstehe den Rechenweg leider nicht so ganz.
>
> Danke im voraus
> clft
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Sa 29.03.2014 | | Autor: | clft |
Danke.
Mein Problem ist mittlerweile nur noch folgendes:
Wenn ich:
[mm] (\wurzel{7}-\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3}) [/mm] rechne, kommt bei mir nicht 7-3 raus, sondern etwas anderes...
Mfg
clft
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 Sa 29.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Danke.
>
> Mein Problem ist mittlerweile nur noch folgendes:
>
> Wenn ich:
>
> [mm](\wurzel{7}-\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})[/mm]
> rechne, kommt bei mir nicht 7-3 raus, sondern etwas
> anderes...
Dritte binomische Formel:
[mm] (a+b)(a-b)=a^2-b^2 [/mm] für alle [mm] a,b\in\IR.
[/mm]
Setze [mm] a:=\wurzel{7} [/mm] und [mm] b:=\wurzel{3}, [/mm] dann gilt:
[mm] (a+b)(a-b)=a^2-b^2=(\wurzel{7})^2-(\wurzel{3})^2=7-3=4
[/mm]
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:56 Sa 29.03.2014 | | Autor: | clft |
Das ist mir schon bewusst, allerdings bleibt ja noch ein [mm] (\wurzel{7}+\wurzel{3}) [/mm] übrig...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Sa 29.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Die Lösung ist falsch. Ich habe am Ende auch was anderes raus.
Das Erweitern am Anfang macht meiner Ansicht nach nicht viel Sinn.
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Sa 29.03.2014 | | Autor: | chrisno |
Das sieht so aus, als hätte das Ganze mit
$ [mm] \bruch{(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{(\wurzel{7}-\wurzel{3})\cdot{}} [/mm] $
angefangen. Dann wird erweitert und
$ $ [mm] \bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})\cdot{}(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{(\wurzel{7}-\wurzel{3})\cdot{}(\wurzel{7}+\wurzel{3})} [/mm] $
erhalten. Nun würde ich mal $63 = 3 * 3 * 7$ sehen und damit umformen [mm] $\wurzel{63} [/mm] = 3 * [mm] \wurzel{7}$.
[/mm]
Im Nenner die dritte binomische Formel, deshalb wurde ja erweitert
$ [mm] \bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})\cdot{}(3\wurzel{7}-\wurzel{7})}{7-3} [/mm] $
$= [mm] \bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})\cdot{}2\wurzel{7}}{4} [/mm] $
[mm] $=\bruch{2*7+2\wurzel{21}}{4}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{7+\wurzel{21}}{2}$
[/mm]
> Vereinfache:
>
> [mm]\bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{(\wurzel{7}-\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Eine Mathelehrerin an meiner Schule hat folgende Rechnung
> gemacht:
>
> [mm]\bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{(\wurzel{7}-\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{(\wurzel{7}-\wurzel{3})*(\wurzel{7}+\wurzel{3})}*\bruch{(\wurzel{7}+\wurzel{3})} {(\wurzel{7}+\wurzel{3})}[/mm]
>
ab hier ist es dann falsch, wie Du schon selbst gemerkt hast.
> [mm]=\bruch{(7+2*\wurzel{21}+3)*(\wurzel{63}-\wurzel{7})}{7-3}[/mm]
>
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