Verbindung Funkana zu Analysis < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Fr 22.07.2011 | | Autor: | cursoer |
| Aufgabe | Satz aus der Spektraltheorie kompakter hermitescher Operatoren im Hilbertraum:
Sei A kompakter, hermitescher Operator in H, [mm] A\not=0. [/mm] Dann gibt es ein [mm] \Phi \in [/mm] H mit [mm] \parallel\Phi\parallel=1 [/mm] und [mm] 0\not=\lambda\in\IR [/mm] mit [mm] A\Phi=\lambda\Phi. [/mm] Außerdem ist [mm] sup\{ \bruch{||}{\parallel f \parallel ^2} : \forall f \in H \backslash \{ 0 \} \} [/mm] = [mm] |<\Phi,A\Phi>| [/mm] = [mm] |\lambda| [/mm] |
Hallo zusammen,
ich bereite mich momentan auf meine Diplomprüfung im Fach Funktionalanalysis vor. Ich habe mir damals in der Vorlesung an den Rand des obigen Satzes eine Notiz gemacht: Vgl. Ana II, [mm] \bruch{||}{\parallel f \parallel ^2} [/mm] (gleicher Beweis)
Anscheinend hat der Prof. damals irgendeine Verbindung zu Analysis II hergestellt, wo es einen ähnlichen Beweis gibt, in dem der Ausdruck [mm] \bruch{||}{\parallel f \parallel ^2} [/mm] eine Rolle spielt. Leider habe ich im Durchsehen meiner Analysis-Unterlagen keinen solchen Ausdruck gefunden... weiß evtl. jemand von euch, wo hier die Verbindung besteht?
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir wer weiterhelfen kann! Schon im Voraus vielen Dank!
Liebe Grüße
Cursoer
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Fr 22.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Ist A eine (reelle) symmetrische nxn - Matrix, so heißt
[mm] $Q_A(x):= [/mm] <Ax,x>$ (x [mm] \in \IR^n)
[/mm]
die zu A geh. quadratische Form. ( <*.*> ist das Standard-Skalarprodukt auf dem [mm] \IR^n)
[/mm]
A heißt positiv definit : [mm] \gdw Q_A(x) [/mm] >0 für jedes x [mm] \in \IR^n [/mm] mit x [mm] \ne [/mm] 0.
Etc......
Hilft das ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 Do 28.07.2011 | | Autor: | cursoer |
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich weiß inzwischen, worauf mein Prof. hinaus wollte. Es gibt anscheinend in der Analysis II einen "analytischen" Beweis der Hauptachsentransformation, der dem Beweis zu diesem Satz aus der Spektraltheorie sehr ähnelt. Leider war der Beweis nicht Bestandteil meiner Analysis II Vorlesung, weswegen ich hier keine Verbindung herstellen konnte....
Trotzdem vielen Dank und noch einen schönen Tag!
Viele Grüße
Cursoer
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