Verallgemeinertes EWP < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Unter welchen Voraussetzungen an $A [mm] \in \IR^{nxn}$ [/mm] und $M [mm] \in \IR^{nxn}$ [/mm] hat das verallgemeinerte EWP [mm] $Ax=\lambda [/mm] Mx$ genau n verschiedene Eigenwerte. |
Also was man ja rausbekommen muss ist, wann die Determinante von
[mm] $(A-\lambda [/mm] M)$ genau n verschiedene Nullstellen hat. Nun habe ich mal ein bisschen rumexperimentiert:
Ist M symmetrisch und positiv definit, kann man M schreiben als [mm] $M=CC^{T}$, [/mm] und dann das verallgemeinerte Problem umformen auf [mm] $C^{-1}A(C^{-1})^{T} Cx=\lambda [/mm] C x$. Nun setze [mm] $A^{\star}=C^{-1}A(C^{-1})^{T}$ [/mm] und $y=Cx$. Dann hat [mm] A^{\star} [/mm] die selbe EW wie $A$. Hat A also n verschiedene So auch [mm] A^{\star} [/mm] und damit auch das verallgemeinerte EWP.
Wenn man sich nun allerdings mal [mm] $A=\pmat{ 5 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] $ und [mm] $\lambda B=\pmat{ \lambda & 7\lambda & 9\lambda \\ 0 & 7 \lambda &15 \lambda \\ 0 & 0& \lambda }$ [/mm] anguckt, dann ist [mm] $det(A-\lamdbaB)=-(-5+\lamdba)(-5+7\lambda)(-2+\lambda)$, [/mm] hat also drei Verschiedene Nullstellen, wobei A und B ja weder symmetrisch noch positiv definit noch diagonalisierbar sind.
Über hinweise zur Lösung obiger Aufgabe wäre ich Dankbar
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 Sa 16.05.2009 | | Autor: | blascowitz |
Nach längerer Überlegung denke ich, dass man wohl keine allgemeinere Aussage formulieren kann.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Di 19.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
