Vektorraum/Eigenschaft < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:35 Sa 10.03.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei [mm] \IK [/mm] ein Körper,
V:= [mm] F(M_{n \times n} (\IK),\IK) [/mm] den Vektorraum aller [mm] \IK-wertigen [/mm] Funktionen auf [mm] M_{n \times n}
[/mm]
Zeige dass folgende teilmengen Teilräume von V bilden:
[mm] \{\delta \in V: \delta ist linear in der k-ten Spalte \}
[/mm]
[mm] \{\delta \in V: \delta ist multilinear,d.h. linear in jeder Spalte \} [/mm] |
Ich versteh das irgendwie gar nicht. Habe deshalb leider keine Ansätze ;(
Wenn wir mal wer kurz erklären könnte wie ich das machen kann, wäre das supa!!
danke,lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:27 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]\IK[/mm] ein Körper,
> V:= [mm]F(M_{n \times n} (\IK),\IK)[/mm] den Vektorraum aller
> [mm]\IK-wertigen[/mm] Funktionen auf [mm]M_{n \times n}[/mm]
> Zeige dass
> folgende teilmengen Teilräume von V bilden:
> [mm]\{\delta \in V: \delta ist linear in der k-ten Spalte \}[/mm]
>
> [mm]\{\delta \in V: \delta ist multilinear,d.h. linear in jeder Spalte \}[/mm]
>
> Ich versteh das irgendwie gar nicht. Habe deshalb leider
> keine Ansätze ;(
>
> Wenn wir mal wer kurz erklären könnte wie ich das machen
> kann, wäre das supa!!
Du sollst zeigen, dass die obigen Mengen nicht nur Teilmengen des angegeben Vektorraums [mm] $V\,$ [/mm] sind, sondern dass sie auch die Unterraumaxiome erfüllen - also Unterräume von [mm] $V\,$ [/mm] sind.
Wenn das ganze zu abstrakt ist, überleg' Dir das ganze mal "mit einem ein wenig überschaubareren Beispiel":
Setze [mm] $\IK=\IR$ [/mm] und [mm] $n=2\,,$ [/mm] dann ist [mm] $V\,$ [/mm] der Vektorraum aller [mm] $\IR$-wertigen [/mm] Funktionen auf [mm] $M_{2 \times 2}(\IR)\,.$
[/mm]
Um das ganze noch ein wenig klarer zu bekommen: Gib' mal konkret beispielhaft ein paar Funktionen $f,g,h [mm] \in [/mm] V$ an - also konkret hinschreiben:
Was macht für diese Vorgaben dann so ein $f [mm] \in [/mm] V$? Dieses [mm] $f\,$ [/mm] ordnet jeder Matrix $A [mm] \in M_{2 \times 2}(\IR)$ [/mm] (so eine hat 2 Zeilen und 2 Spalten und alle Einträge sind Zahlen [mm] $\in \IR$) [/mm] eine reelle Zahl [mm] $f(A)\,$ [/mm] zu...
P.S.:
Das neutrale Element aus $V$ ist [mm] $N\,$ [/mm] mit $N: [mm] M_{n \times n}(\IK) \to \IK$ [/mm] mit
[mm] $$N(A):=0_{\IK} \text{ für alle }A \in M_{n \times n}(\IK)\,.$$
[/mm]
Du kannst also mal zeigen/kurz begründen, dass [mm] $N\,$ [/mm] zu jeder der beiden Mengen gehört:
Zum Beispiel:
Sei $A [mm] \in M_{n \times n}(\IK)\,.$ [/mm] Wir schreiben [mm] $A=(a_1,\ldots,a_{k-1},a_k,a_{k+1},\ldots,a_n)\,,$ [/mm] d.h. [mm] $a_i$ [/mm] ist die i-te Spalte von [mm] $A\,$ ($i=1,\ldots,n$).
[/mm]
Dann gilt etwa mit [mm] $\lambda \in \IR$
[/mm]
[mm] $$0=N\Big((a_1,\ldots,a_{k-1},\lambda*a_k,a_{k+1},\ldots,a_n)\Big)=\ldots$$
[/mm]
Und danach hast Du noch was zu prüfen! (Du musst natürlich wissen/Dir klar machen/nachschlagen, was das hier heißt, dass solch' eine Abbildung "linear in der k-ten Spalte" ist!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:48 Sa 10.03.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo.
Also nachzuprüfen sind jeweils die Teilraumeigenschaften:
-)Neutrale Element: [mm] \{\delta \in V| \forall x \in X: \delta(x)=0\} [/mm] in der Menge enthalten
-) Nemen wir zwei Elemente aus der Menge ist zuzeigen, dass ihre Addition aus der Menge ist
-) Ist ein Element aus der Menge dann auch die Skalarmultiplikation mit dem Element.
S= $ [mm] \{\delta \in V: \delta ist linear in k-ten Spalte \} [/mm] $
-)
> Sei $ A [mm] \in M_{n \times n}(\IK)\,. [/mm] $ Wir schreiben $ [mm] A=(a_1,\ldots,a_{k-1},a_k,a_{k+1},\ldots,a_n)\,, [/mm] $ d.h. $ [mm] a_i [/mm] $ ist die i-te Spalte von $ [mm] A\, [/mm] $ ($ [mm] i=1,\ldots,n [/mm] $).
> Dann gilt etwa mit $ [mm] \lambda \in \IR [/mm] $
> $ [mm] 0=N\Big((a_1,\ldots,a_{k-1},\lambda\cdot{}a_k,a_{k+1},\ldots,a_n)\Big)=\ldots [/mm] $
Darf ich da jetzt die Linearität verwenden'??
[mm] =\lambda N\Big((a_1,\ldots,a_{k-1},a_k,a_{k+1},\ldots,a_n)\Big) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * 0 =0
$ [mm] 0=N\Big((a_1,\ldots,a_{k-1},a_k [/mm] + [mm] x_k,a_{k+1},\ldots,a_n)\Big)=N\Big((a_1,\ldots,a_{k-1},a_k,a_{k+1},\ldots,a_n)\Big) [/mm] + [mm] N\Big((a_1,\ldots,a_{k-1}, x_k,a_{k+1},\ldots,a_n)\Big)=0+0=0
[/mm]
-)
Sei [mm] \delta \in [/mm] S , [mm] \delta' \in [/mm] S
ZZ.: [mm] \delta'' \in [/mm] S
LineAr:
[mm] \delta''(a_1,\ldots,a_{k-1},\lambda a_k ,a_{k+1},\ldots,a_n) [/mm] = [mm] \delta(a_1,\ldots,a_{k-1},\lambda a_k ,a_{k+1},\ldots,a_n) [/mm] + [mm] \delta'(a_1,\ldots,a_{k-1},\lambda a_k ,a_{k+1},\ldots,a_n) =\lambda\delta(a_1,\ldots,a_{k-1}, a_k ,a_{k+1},\ldots,a_n) +\lambda \delta'(a_1,\ldots,a_{k-1}, a_k ,a_{k+1},\ldots,a_n)= \lambda *(\delta(a_1,\ldots,a_{k-1}, a_k ,a_{k+1},\ldots,a_n) [/mm] + [mm] \delta'(a_1,\ldots,a_{k-1}, a_k ,a_{k+1},\ldots,a_n))= \lambda *\delta''(a_1,\ldots,a_{k-1}, a_k ,a_{k+1},\ldots,a_n)
[/mm]
[mm] \delta''(a_1,\ldots,a_{k-1},a_k [/mm] + [mm] x_k ,a_{k+1},\ldots,a_n) [/mm] = [mm] \delta(a_1,\ldots,a_{k-1},a_k [/mm] + [mm] x_k ,a_{k+1},\ldots,a_n) [/mm] + [mm] \delta'(a_1,\ldots,a_{k-1},a_k [/mm] + [mm] x_k ,a_{k+1},\ldots,a_n) =\delta(a_1,\ldots,a_{k-1}, a_k ,a_{k+1},\ldots,a_n) +\delta'(a_1,\ldots,a_{k-1},a_k ,a_{k+1},\ldots,a_n)+ (\delta(a_1,\ldots,a_{k-1}, x_k ,a_{k+1},\ldots,a_n) [/mm] + [mm] \delta'(a_1,\ldots,a_{k-1}, x_k ,a_{k+1},\ldots,a_n))= \delta''(a_1,\ldots,a_{k-1}, a_k ,a_{k+1},\ldots,a_n) +\delta''(a_1,\ldots,a_{k-1}, x_k ,a_{k+1},\ldots,a_n) [/mm]
Sei [mm] \delta \in [/mm] S
[mm] ZZ:\lambda [/mm] * [mm] \delta \in [/mm] S
[mm] \lambda [/mm] * [mm] (\delta(a_1,\ldots,a_{k-1},a_k [/mm] + [mm] x_k ,a_{k+1},\ldots,a_n) =\delta(a_1,\ldots,a_{k-1},\lambda a_k [/mm] + [mm] \lambda x_k,a_{k+1},\ldots,a_n)=\delta(a_1,\ldots,a_{k-1},\lambda a_k,a_{k+1},\ldots,a_n)+\delta(a_1,\ldots,a_{k-1},\lambda x_k +,a_{k+1},\ldots,a_n)=\lambda (\delta(a_1,\ldots,a_{k-1}, a_k +,a_{k+1},\ldots,a_n)+\delta(a_1,\ldots,a_{k-1},x_k +,a_{k+1},\ldots,a_n)) [/mm]
[mm] \lambda [/mm] * [mm] (\delta(a_1,\ldots,a_{k-1},\mu a_k ,a_{k+1},\ldots,a_n)=\delta(a_1,\ldots,a_{k-1},\lambda \mu a_k ,a_{k+1},\ldots,a_n)= \lambda *\mu (\delta(a_1,\ldots,a_{k-1}, a_k ,a_{k+1},\ldots,a_n)
[/mm]
Ich bin mir nicht sicher, ob das so stimmt.
Und wie macht man das bei Multilinearität, wie zeige ich also, das [mm] \delta [/mm] in JEDER Spalte linear ist!?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo sissile,
> Hallo.
> Also nachzuprüfen sind jeweils die
> Teilraumeigenschaften:
>  Neutrale Element: [mm]\{\delta \in V| \forall x \in X: \delta(x)=0\}[/mm]
STOP. Das, was Du da schreibst, ist nichts anderes als [mm] $\{\delta\}$ [/mm] mit [mm] $\delta(x)=0$ [/mm] (rechterhand ist [mm] $0=0_{\IK}$) [/mm] für alle $x [mm] \in M_{n \times n}(\IK)=:X\,.$ [/mm] Wenn Du das so schreibst, müsstest Du zeigen, dass diese Menge eine Teilmenge von [mm] $V\,$ [/mm] ist - Du willst ja nicht [mm] $\{\delta\} \in V\,,$ [/mm] sondern [mm] $\delta \in [/mm] V$ zeigen, wenn [mm] $\delta$ [/mm] diese so definierte Funktion ist . (P.S.: Dein [mm] $\delta$ [/mm] hier ist die "Nullfunktion", ich habe die [mm] $N\,$ [/mm] genannt. Weil: Das Neutrale Element ist für mich immer ein "ausgezeichnetes" Element, dass sich durch einen speziellen Namen immer von den anderen "abheben" sollte. Du kannst es auch [mm] $0\,$ [/mm] nennen oder so, aber dann musst Du Dir immer klar machen, ist das nun die $0 [mm] \in \IK$ [/mm] oder "die $0 [mm] \in M_{n \times n}(\IK)$", [/mm] von der wir hier sprechen. Letztstehendes ist eine Abbildung!!)
> in der Menge enthalten
> Nemen wir zwei Elemente aus der Menge ist zuzeigen,
> dass ihre Addition aus der Menge ist
> Ist ein Element aus der Menge dann auch die
> Skalarmultiplikation mit dem Element.
Ja, besser: Ist ein Element aus der Menge gegeben und multipliziert man eine skalare Zahl aus [mm] $\IK$ [/mm] dran, dann ist das so entstehende Ergebnis (die so entstehende Funktion) stets in der Menge enthalten!
> S= [mm]\{\delta \in V: \delta ist linear in k-ten Spalte \}[/mm]
> -)
> > Sei [mm]A \in M_{n \times n}(\IK)\,.[/mm] Wir schreiben
> [mm]A=(a_1,\ldots,a_{k-1},a_k,a_{k+1},\ldots,a_n)\,,[/mm] d.h. [mm]a_i[/mm]
> ist die i-te Spalte von [mm]A\,[/mm] ([mm] i=1,\ldots,n [/mm]).
>
> > Dann gilt etwa mit [mm]\lambda \in \IR[/mm]
>
> >
> [mm]0=N\Big((a_1,\ldots,a_{k-1},\lambda\cdot{}a_k,a_{k+1},\ldots,a_n)\Big)=\ldots[/mm]
> Darf ich da jetzt die Linearität verwenden'??
Nein, die wollen wir doch begründen! (Linearität in der k-ten Spalte!)
> [mm]=\lambda N\Big((a_1,\ldots,a_{k-1},a_k,a_{k+1},\ldots,a_n)\Big)[/mm]
> = [mm]\lambda[/mm] * 0 =0
> $ [mm]0=N\Big((a_1,\ldots,a_{k-1},a_k[/mm] +
> [mm]x_k,a_{k+1},\ldots,a_n)\Big)=N\Big((a_1,\ldots,a_{k-1},a_k,a_{k+1},\ldots,a_n)\Big)[/mm]
> + [mm]N\Big((a_1,\ldots,a_{k-1}, x_k,a_{k+1},\ldots,a_n)\Big)=0+0=0[/mm]
Na, pass' auf, damit das mal ganz klar wird: Die Menge mit der Linearität in der k-ten Spalte nennst Du ja [mm] $S\,.$ [/mm] (Vielleicht wäre [mm] $S_k$ [/mm] eine minimal bessere Bezeichnung (weil dann das [mm] $k\,$ [/mm] da mit drinstecken würde!), aber egal...)
Wir wollen zeigen, dass die Nullfunktion in der k-ten Spalte linear ist (mit $k [mm] \in \{1,\ldots,n\}$ [/mm] fest!).
Dazu musst Du zwei Sachen ZEIGEN (für Matrizen $A [mm] \in M_{n \times n}(\IK)$ [/mm] erkennt man an der Schreibweise [mm] $A=(a_1,...,a_n)$ [/mm] deren SPALTEN!):
1.) [mm] $\forall \lambda \in \IK$ [/mm] und [mm] $\forall [/mm] A [mm] \in M_{n \times n}(\IK)$ [/mm] gilt:
[mm] $$(\star)\;\;\;N((a_1,...,\lambda a_k,...,a_n))=\lambda N(A)\,.$$
[/mm]
Und das ist trivial:
Links steht per Definitionem von [mm] $N\,$ [/mm] gerade [mm] $0_{\IK}\,,$ [/mm] und rechts steht per Definitionem von [mm] $N\,$ [/mm] dann [mm] $\lambda*0_{\IK}\,.$ [/mm] Hier ist also nur zu begründen, dass, oder warum, eben [mm] $0_{\IK}=\lambda*0_{\IK}$ [/mm] gilt.
2.) Auch ist zu zeigen: Ist $b [mm] \in M_{n \times 1}(\IK)$ [/mm] ein SPALTENVEKTOR, so gilt:
[mm] $$(\star_2)\;\;\;N((a_1,...,a_k+b,...a_n))=N(A)+N((a_1,...,b,...,a_n))\,.$$
[/mm]
Dabei "ersetzt" quasi rechterhand [mm] $b\,$ [/mm] die k-te Spalte von [mm] $A\,.$ [/mm] So ist die Matrix [mm] $(a_1,...,b,...,a_n)$ [/mm] zu verstehen, deutlicher: [mm] $(a_1,...,a_{k-1},b,a_{k+1},...,a_n)\,.$ [/mm]
Wenn Du Dir das mal anschaust, ist diese Behauptung dann äquivalent zu [mm] $0=0+0\,,$ [/mm] wobei [mm] $0=0_{\IK}\,.$
[/mm]
Nachdem Du nun [mm] $(\star)$ [/mm] und [mm] $(\star_2)$ [/mm] GEZEIGT/BEGRÜNDET hast, folgt erst $N [mm] \in S\,.$ [/mm] Und danach erst kannst Du, wenn Du das nochmal brauchst, später auch benutzen, dass [mm] $N\,$ [/mm] linear in der k-ten Spalte ist!
> -)
> Sei [mm]\delta \in[/mm] S , [mm]\delta' \in[/mm] S
> ZZ.: [mm]\delta'' \in[/mm] S
Schreib' Dir mal genau auf, was zu zeigen ist. Was ist denn [mm] $\delta''$ [/mm] hier?
Zu zeigen ist jedenfalls:
Wenn [mm] $\delta,\delta'$ [/mm] Funktionen aus [mm] $S\,$ [/mm] sind, d.h. [mm] $\delta$ [/mm] und [mm] $\delta'$ [/mm] sind linear in der k-ten Spalte, kurz (exemplarisch für [mm] $\delta$):
[/mm]
[mm] $$\delta((a_1,...,\lambda a_k,...,a_n))=\lambda \delta((a_1,...,a_k,...,a_n))=\lambda \delta(A)$$ [/mm]
und
[mm] $$\delta((a_1,...,a_k+b,...,a_n))=\delta((a_1,...,a_k,...,a_n))+\delta((a_1,...,b,...,a_n))=\delta(A)+\delta((a_1,...,b,...,a_n))$$
[/mm]
gilt für alle Matrizen [mm] $A\,$ [/mm] wie oben, alle [mm] $\lambda \in \IK$ [/mm] und alle Spaltenvektoren [mm] $b\,$ [/mm] wie oben (analoges gilt für [mm] $\delta'$), [/mm] dann folgt, dass auch
[mm] $$\delta+\delta'$$ [/mm]
diese beiden Eigenschaften hat (diese beiden Eigenschaften zusammen sind ja gerade die Linearität in der k-ten Spalte!).
> LineAr:
> $ [mm] \delta''(a_1,\ldots,a_{k-1},\lambda a_k ,a_{k+1},\ldots,a_n) [/mm] $ = $ [mm] \delta(a_1,\ldots,a_{k-1},\lambda a_k ,a_{k+1},\ldots,a_n) [/mm] $ + $ [mm] \delta'(a_1,\ldots,a_{k-1},\lambda a_k ,a_{k+1},\ldots,a_n) =\lambda\delta(a_1,\ldots,a_{k-1}, a_k ,a_{k+1},\ldots,a_n) +\lambda \delta'(a_1,\ldots,a_{k-1}, a_k ,a_{k+1},\ldots,a_n)= \lambda \cdot{}(\delta(a_1,\ldots,a_{k-1}, a_k ,a_{k+1},\ldots,a_n) [/mm] $ + $ [mm] \delta'(a_1,\ldots,a_{k-1}, a_k ,a_{k+1},\ldots,a_n))= \lambda \cdot{}\delta''(a_1,\ldots,a_{k-1}, a_k ,a_{k+1},\ldots,a_n) [/mm] $
> $ [mm] \delta''(a_1,\ldots,a_{k-1},a_k [/mm] $ + $ [mm] x_k ,a_{k+1},\ldots,a_n) [/mm] $ = $ [mm] \delta(a_1,\ldots,a_{k-1},a_k [/mm] $ + $ [mm] x_k ,a_{k+1},\ldots,a_n) [/mm] $ + $ [mm] \delta'(a_1,\ldots,a_{k-1},a_k [/mm] $ + $ [mm] x_k ,a_{k+1},\ldots,a_n) =\delta(a_1,\ldots,a_{k-1}, a_k ,a_{k+1},\ldots,a_n) +\delta'(a_1,\ldots,a_{k-1},a_k ,a_{k+1},\ldots,a_n)+ (\delta(a_1,\ldots,a_{k-1}, x_k ,a_{k+1},\ldots,a_n) [/mm] $ + $ [mm] \delta'(a_1,\ldots,a_{k-1}, x_k ,a_{k+1},\ldots,a_n))= \delta''(a_1,\ldots,a_{k-1}, a_k ,a_{k+1},\ldots,a_n) +\delta''(a_1,\ldots,a_{k-1}, x_k ,a_{k+1},\ldots,a_n) [/mm] $
Okay. Anstatt [mm] $b\,$ [/mm] heißt bei Dir der Spaltenvektor halt [mm] $x_k\,,$ [/mm] und [mm] $\delta''$ [/mm] ist bei Dir wohl [mm] $\delta+\delta'\,.$ [/mm]
(Letzteres MUSST Du dazuschreiben: [mm] $\delta'':=\delta+\delta'\,.$ [/mm] Auch, wenn man es erkennt, wenn man verfolgt, was Du tust. Das ist DEINE Definition von [mm] $\delta''$!!)
[/mm]
Du machst das, wenn ich das auf die Schnelle richtig überblicke, schon richtig. Aber wenn Du Dir selbst nicht im Klaren darüber bist, dann schreibe halt dazu, wann Du was machst und wann Du was machen darfst:
Das erste [mm] $=\,$ [/mm] etwa gilt nach Definition [mm] $\delta'':=\delta+\delta'$ [/mm] UND nach der Definition, wie man zwei Funktionen addiert - nämlich "punktweise" (die "Punkte" sind hierbei Matrizen). Danach benutzt Du die Linearität in der k-ten Spalte von [mm] $\delta$ [/mm] UND von [mm] $\delta'\,,$ [/mm] weil diese ja Funktionen aus $S$ sind. Danach rechnen wir, weil diese Funktionen ja [mm] $\IK$-wertig [/mm] sind, in [mm] $\IK$... [/mm] etc. pp. Schreibe alle Argumente mal dazu, dann weißt Du auch selbst, was Du da machst und warum Du das machen darfst.
> Sei $ [mm] \delta \in [/mm] $ S
> $ [mm] ZZ:\lambda [/mm] $ * $ [mm] \delta \in [/mm] $ S
> $ [mm] \lambda [/mm] $ * $ [mm] (\delta(a_1,\ldots,a_{k-1},a_k [/mm] $ + $ [mm] x_k ,a_{k+1},\ldots,a_n) =\delta(a_1,\ldots,a_{k-1},\lambda a_k [/mm] $ + $ [mm] \lambda x_k,a_{k+1},\ldots,a_n)=\delta(a_1,\ldots,a_{k-1},\lambda a_k,a_{k+1},\ldots,a_n)+\delta(a_1,\ldots,a_{k-1},\lambda x_k +,a_{k+1},\ldots,a_n)=\lambda (\delta(a_1,\ldots,a_{k-1}, a_k +,a_{k+1},\ldots,a_n)+\delta(a_1,\ldots,a_{k-1},x_k +,a_{k+1},\ldots,a_n)) [/mm] $
> $ [mm] \lambda [/mm] $ * $ [mm] (\delta(a_1,\ldots,a_{k-1},\mu a_k ,a_{k+1},\ldots,a_n)=\delta(a_1,\ldots,a_{k-1},\lambda \mu a_k ,a_{k+1},\ldots,a_n)= \lambda \cdot{}\mu (\delta(a_1,\ldots,a_{k-1}, a_k ,a_{k+1},\ldots,a_n) [/mm] $
> Ich bin mir nicht sicher, ob das so stimmt.
> Und wie macht man das bei Multilinearität, wie zeige ich also,
> das $ [mm] \delta [/mm] $ in JEDER Spalte linear ist!?
> Ich bin mir nicht sicher, ob das so stimmt.
> Und wie macht man das bei Multilinearität, wie zeige ich
> also, das [mm]\delta[/mm] in JEDER Spalte linear ist!?
Das ist die Definition der Multilinearität. Natürlich ist jede multilineare Abbildung insbesondere linear in der k-ten Spalte, d.h. die letzte Menge ist eine Teilmenge (und wie Du sehen wirst, auch ein Unterraum) von obiger Menge, die Du [mm] $S\,$ [/mm] genannt hattest!
Was Du halt zeigen musst:
Wenn ich irgendeine multilineare Abbildung hernehme, dann hat die die Eigenschaft, egal, welche Spalte $j [mm] \in \{1,...,n\}$ [/mm] ich hernehme, bzgl. dieser linear zu sein. Nehme ich also zwei solcher her und nehme nun irgendeine Spalte $j [mm] \in \{1,..,n\}$ [/mm] her, dann muss ich zeigen, dass auch die "Summe der Abbildungen" wieder linear in der j-ten Spalte ist.
Formal sieht das fast genauso aus, aber der Unterschied ist halt, dass die Abbildungen nicht linear bzgl. einer ausgezeichneten Spalte, in [mm] $S\,$ [/mm] war das ja die k-te Spalte mit FESTEM k, sind, sondern bzgl. einer jeden Spalte.
(D.h.: Wenn ich eine multilineare Abbildung mit [mm] $n=5\,$ [/mm] habe, dann ist diese linear sowohl bzgl. der ersten, zweiten, dritten, vierten und auch fünften Spalte. Ich kann diese Eigenschaft benutzen, egal, welche Spalte ich hernehme. Wenn ich nur eine Abbildung habe, die linear bzgl. der 3ten Spalte ist, dann ist sie nicht notwendigerweise auch linear bzgl. der 5en Spalte.)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Sa 10.03.2012 | | Autor: | sissile |
Servus ;)
Danke, alles klar .
> 2.) Auch ist zu zeigen: Ist $ b [mm] \in M_{n \times 1}(\IK) [/mm] $ ein SPALTENVEKTOR, so gilt:
$ [mm] (\star_2)\;\;\;N((a_1,...,a_k+b,...a_n))=N(A)+N((a_1,...,b,...,a_n))\,. [/mm] $
Links steht per Definitionem von $ [mm] N\, [/mm] $ gerade $ [mm] 0_{\IK}\,, [/mm] $
Und rechts steht per Definition [mm] 0_{\IK} [/mm] + [mm] 0_{\IK}
[/mm]
[mm] 0_{\IK}=0_{\IK} [/mm] + [mm] 0_{\IK}
[/mm]
Zu b)
S= $ [mm] \{\delta \in V: \delta ist multilinear,d.h. linear in jeder Spalte \} [/mm] $
> Nehme ich also zwei solcher her und nehme nun irgendeine Spalte $ j [mm] \in \{1,..,n\} [/mm] $ her, dann muss ich zeigen, dass auch die "Summe der Abbildungen" wieder linear in der j-ten Spalte ist.
Sei k [mm] \in \{1,..,n\} [/mm] fix.
Da reicht es dann doch Linearität in der k-ten Spalte zu zeigen, da wir die Spalte fixieren. Das haben wir oben gezeigt.
Von den Überlegungen ist das logisch, aber ich weiß nicht, was ich außer der Erklärung als "Beweis" aufschreiben soll/muss.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Servus ;)
> Danke, alles klar .
>
> > 2.) Auch ist zu zeigen: Ist [mm]b \in M_{n \times 1}(\IK)[/mm] ein
> SPALTENVEKTOR, so gilt:
>
> [mm](\star_2)\;\;\;N((a_1,...,a_k+b,...a_n))=N(A)+N((a_1,...,b,...,a_n))\,.[/mm]
> Links steht per Definitionem von [mm]N\,[/mm] gerade [mm]0_{\IK}\,,[/mm]
> Und rechts steht per Definition [mm]0_{\IK}[/mm] + [mm]0_{\IK}[/mm]
> [mm]0_{\IK}=0_{\IK}[/mm] + [mm]0_{\IK}[/mm]
naja, die Begründungen, dass [mm] $N\,$ [/mm] nun linear in der k-ten Spalte ist, folgt eben, WEIL im Körper [mm] $\IK$ [/mm] GELTEN: [mm] $\lambda*0=0$ [/mm] und [mm] $0=0+0\,.$ [/mm]
> Zu b)
> S [mm] $\red{T:=}$[/mm] [mm]\{\delta \in V: \delta ist multilinear,d.h. linear in jeder Spalte \}[/mm]
Keine Doppelbezeichnungen - Du hattest schon die erste Menge [mm] $S\,$ [/mm] genannt - die Menge mit der Linearität in der k-ten Spalte nennen wir weiterhin [mm] $S\,.$ [/mm] Nennen wir nun diese neue einfach [mm] $T\,,$ [/mm] also [mm] $T\,$ [/mm] ist die Menge mit den multilinearen Abbildungen.
> > Nehme ich also zwei solcher her und nehme nun irgendeine
> Spalte [mm]j \in \{1,..,n\}[/mm] her, dann muss ich zeigen, dass
> auch die "Summe der Abbildungen" wieder linear in der j-ten
> Spalte ist.
> Sei k [mm]\in \{1,..,n\}[/mm] fix.
> Da reicht es dann doch Linearität in der k-ten Spalte zu
> zeigen, da wir die Spalte fixieren. Das haben wir oben
> gezeigt.
> Von den Überlegungen ist das logisch, aber ich weiß
> nicht, was ich außer der Erklärung als "Beweis"
> aufschreiben soll/muss.
Es sieht formal genauso aus. Der Unterschied ist nur:
Bei [mm] $S\,$ [/mm] ist das [mm] $k\,$ [/mm] IMMER fest. (Bevor man [mm] $S\,$ [/mm] überhaupt hinschreiben kann, muss man schon [mm] $k\,$ [/mm] fest gewählt haben!)
D.h. bei [mm] $S=S_k$ [/mm] gilt, dass man für eine Abbildung aus [mm] $S\,$ [/mm] i.a. immer nur weiß, dass man die Linearität nur in der k-ten Spalte hat.
Bei einer Abbildung aus [mm] $T\,,$ [/mm] sei mal $f [mm] \in T\,,$ [/mm] weißt Du, dass Du die Linearität bzgl. einer jeden Spalte $j [mm] \in \{1,...,n\}$ [/mm] hast. Beachte bitte: Es ist hier ebenso ungünstig, nun [mm] $k\,$ [/mm] als Variable zu benutzen. [mm] $k\,$ [/mm] ist eher sowas wie ein Parameter, einmal gewählt, aber dann bleibt der fest.
Sei mal beispielhaft [mm] $n=5:\,$
[/mm]
Für [mm] $k=3\,$ [/mm] ist dann ein jedes [mm] $\delta \in [/mm] S$ linear bzgl. der [mm] $k=3\,$en [/mm] Spalte.
Eine Abbildung $f [mm] \in [/mm] T$ ist bzgl. jeder Spalte [mm] $j\,$ [/mm] mit $j [mm] \in \{1,2,3,4,5\}$ [/mm] linear, insbesondere auch für [mm] $j=k=3\,,$ [/mm] also in der dritten Spalte.
Anders gesagt:
$f [mm] \in [/mm] T$ ist linear bzgl. der [mm] $j\,$-ten [/mm] Spalte für alle $j [mm] \in \{1,2,...,n\}=\{1,2,...,k-1,k,k+1,...,n\}\,.$
[/mm]
Achso, zum Hinschreiben:
Du fängst halt an mit:
Seien [mm] $\delta,\delta' \in T\,.$ [/mm] Sei nun $j [mm] \in \{1,...,n\}$ [/mm] beliebig, aber fest. Dann ist zu zeigen, dass auch [mm] $\delta+\delta'$ [/mm] linear in der j-ten Spalte ist (strenggenommen hast Du das speziell für [mm] $j=k\,$ [/mm] halt schonmal getan). Das sieht ansonsten wirklich genauso aus, nur, dass jetzt halt überall ein [mm] $j\,$ [/mm] steht an den Stellen, wo vorher k stand. Logisch macht man dadurch aber "mehr".
Denn:
Für $f,g [mm] \in [/mm] S$ wüßte man nur, dass diese linear in der k-ten Spalte sind - in der j-ten Spalte für $j [mm] \not=k$ [/mm] müssen diese nicht linear sein.
Bei [mm] $\delta,\delta' \in [/mm] T$ weiß man mehr, denn diese sind linear in der Spalte [mm] $j\,$ [/mm] für jedes $j [mm] \in \{1,...,n\}\,,$ [/mm] nicht nur in der Spalte [mm] $j=k\,,$ [/mm] wo sie natürlich dennoch linear sind.
Also Unterschied:
In [mm] $S\,$ [/mm] hat man die Linearität bzgl. EINER AUSGEZEICHNETEN Spalte. In [mm] $T\,$ [/mm] hat man die Linearität nicht nur bzgl. der AUSGEZEICHNETEN Spalte wie in [mm] $S\,,$ [/mm] sondern bzgl. JEDER Spalte - egal, welche man betrachtet!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:45 Sa 10.03.2012 | | Autor: | sissile |
(FALLS Du/Ihr keine Zeit/ Lust hat/habt,das alles anzuschauen würde ich mich freuen, wenn nur bei g) mir wer weiterhelfen könnte.
okay
Die Tatsache was zu zeigen ist habe ich schon verstanden ;)
Nur die Frage, die sich mir noch immer stellt wieviel reicht als Antwort aufzuschreiben um den Anforderungen der Korrektoren gerecht zu werden.
Ich versuchs mal so:
T:=$ $ [mm] \{\delta \in V: \delta ist multilinear,d.h. linear in jeder Spalte \} [/mm] $
Seien [mm] \delta, \delta' \in [/mm] T
Sei nun j [mm] \in \{1,..,n\} [/mm] beliebig aber fast
ZuZeigen: [mm] \delta'':= \delta [/mm] + [mm] \delta' [/mm] linear in der j-ten Spalte
Analog zu a):
$ [mm] \delta''(a_1,\ldots,a_{j-1},\lambda a_j ,a_{j+1},\ldots,a_n) =\lambda \cdot{}\delta''(a_1,\ldots,a_{j-1}, a_j ,a_{j+1},\ldots,a_n) [/mm] $
$ [mm] \delta''(a_1,\ldots,a_{j-1},a_j [/mm] $ + $ [mm] x_j ,a_{j+1},\ldots,a_n) [/mm] = [mm] \delta''(a_1,\ldots,a_{j-1}, a_j ,a_{j+1},\ldots,a_n) +\delta''(a_1,\ldots,a_{j-1}, x_j ,a_{kj+1},\ldots,a_n) [/mm] $
Sei [mm] \delta \in [/mm] T
Sei nun j [mm] \in \{1,..,n\} [/mm] beliebig aber fast
ZuZeigen: [mm] \lambda [/mm] * [mm] \delta \in [/mm] T
Analog zu a)
[mm] \lambda *(\delta(a_1,\ldots,a_{j-1},a_j [/mm] + [mm] x_j ,a_{j+1},\ldots,a_n) =\lambda (\delta(a_1,\ldots,a_{j-1}, a_j ,a_{j+1},\ldots,a_n)+\delta(a_1,\ldots,a_{j-1},x_j ,a_{j+1},\ldots,a_n)) [/mm]
[mm] \lambda [/mm] * [mm] (\delta(a_1,\ldots,a_{j-1},\mu a_j ,a_{j+1},\ldots,a_n)= \lambda (\cdot\mu (\delta(a_1,\ldots,a_{j-1}, a_j ,a_{j+1},\ldots,a_n))
[/mm]
Kannst du dir das hier noch anschauen?, Würd mich freuen ;)
c) U= [mm] \delta \in [/mm] V: stimmen die k-te und l-te Spalte von A überein, so gilt [mm] \delta(A)=0 [/mm]
> gehört mit runder Klammer, aber dann kan man es nicht mehr lesen ;)
-)
[mm] \forall [/mm] A [mm] \in M_{n \times n} (\IK) [/mm] seien [mm] a_k=a_l
[/mm]
ZuZeigen : [mm] N((a_1,...,a_k,..a_l,..a_n)) [/mm] = [mm] 0_K
[/mm]
Links steht per Definitionem von $ [mm] N\, [/mm] $$ [mm] 0_{\IK}\,, [/mm] $ , also richtig.
-) Sei [mm] \delta \in [/mm] U, [mm] \delta' \in [/mm] U
ZZ: [mm] \delta'' [/mm] := [mm] \delta [/mm] + [mm] \delta' \in [/mm] U
Sei [mm] x_k=x_l [/mm]
[mm] \delta''(a_1,...,a_k,..a_l,..a_n)= \delta (a_1,...,a_k,..a_l,..a_n)+\delta' (a_1,...,a_k,..a_l,..a_n)= 0_K [/mm] + [mm] 0_K =0_K
[/mm]
Da die Körperaxiome in [mm] \IK [/mm] gelten
Sei [mm] \delta \in [/mm] U
ZZ: [mm] \lambda [/mm] * [mm] \delta \in [/mm] U
Sei [mm] x_k=x_l [/mm]
[mm] \lambda [/mm] * [mm] \delta (a_1,...,a_k,..a_l,..a_n) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] 0_K [/mm] =0
Da die Körperaxiome in [mm] \IK [/mm] gelten
d) P= [mm] \delta \in [/mm] V: stimmen zwei benachbarte Spalte von A überein, so gilt [mm] \delta(A)=0 [/mm]
-) ZuZeigen
[mm] \forall [/mm] A [mm] \in M_{n \times n} (\IK) [/mm]
Sei nun [mm] k\in \{1,..,n-1\} [/mm] beliebig aber fest
seien [mm] a_{k+1}=a_k
[/mm]
[mm] N((a_1,...,a_k,a_{k+1}..a_n)) [/mm] = [mm] 0_K
[/mm]
Links steht per Definitionem von $ [mm] N\, [/mm] $$ [mm] 0_{\IK}\,, [/mm] $ , also richtig.
-) Sei [mm] \delta \in [/mm] P, [mm] \delta' \in [/mm] P
ZZ: [mm] \delta'' [/mm] := [mm] \delta [/mm] + [mm] \delta' \in [/mm] P
Sei nun k [mm] \in \{1,..,n-1} [/mm] beliebig aber fest
seien [mm] a_{k+1}=a_k
[/mm]
[mm] \delta''(a_1,...,a_k,a_{k+1},..a_n)= \delta (a_1,...,a_k,a_{k+1},..a_n)+\delta' (a_1,...,a_k,a_{k+1},..a_n)= 0_K [/mm] + [mm] 0_K =0_K
[/mm]
Da die Körperaxiome in [mm] \IK [/mm] gelten
Sei [mm] \delta \in [/mm] P
ZZ: [mm] \lambda [/mm] * [mm] \delta \in [/mm] P
Sei nun k [mm] \in \{1,..,n-1} [/mm] beliebig aber fest
seien [mm] a_{k+1}=a_k
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] * [mm] \delta (a_1,...,a_k,a_{k+1},..a_n) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] 0_K [/mm] =0
Da die Körperaxiome in [mm] \IK [/mm] gelten
e) Z= [mm] \delta \in [/mm] V: stimmen zwei Spalten von A überein, so gilt [mm] \delta(A)=0
[/mm]
[mm] \forall [/mm] A [mm] \in M_{n \times n} (\IK) [/mm]
Sei nun [mm] k\in \{1,..,n\} [/mm] beliebig aber fest und j [mm] \in \{1,..,n\} [/mm] beliebig aber fest. Jedoch [mm] k\not=i
[/mm]
Und seien [mm] a_{k}=a_j
[/mm]
Analog zu c)
> Da bin ich mir unsicher ob das so stimmt!
f) R= [mm] \delta \in [/mm] V: sind die Spalten von A linear abhängig, so gilt [mm] \delta(A)=0
[/mm]
[mm] \forall [/mm] A [mm] \in M_{n \times n} (\IK) [/mm]
Sei nun [mm] k\in \{1,..,n\} [/mm] beliebig aber fest und j [mm] \in \{1,..,n} [/mm] beliebig aber fest. Jedoch [mm] k\not=i
[/mm]
Und seien [mm] a_{k} [/mm] und [mm] a_j [/mm] linear abhängig
Analog zu c)
g) [mm] \delta \in [/mm] V: [mm] \delta [/mm] ist multilinear und alternierend
Ich weiß alternierend bedeutet:
- stimmen zwei benachbarte Spalten von A überein, so gilt [mm] \delta(A)=0
[/mm]
äquivalent dazU: stimmen zwei Spalten von A überein, so gilt [mm] \delta(A)=0
[/mm]
und wiederum äqivalent dazu: Sind die Spalten von A linear abhängig so gilt [mm] \delta(A)=0
[/mm]
Nach dem Bsp. wissen wir, dass sie multilinearen und die alternierenden einen teilraum bilden. Bilden dann nicht automatisch die Verknüpfung der Eigenschaften einen Teilraum, bzw. was ist hier noch zu zeigen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> (FALLS Du/Ihr keine Zeit/ Lust hat/habt,das alles
> anzuschauen würde ich mich freuen, wenn nur bei g) mir wer
> weiterhelfen könnte.
>
> okay
> Die Tatsache was zu zeigen ist habe ich schon verstanden
> ;)
> Nur die Frage, die sich mir noch immer stellt wieviel
> reicht als Antwort aufzuschreiben um den Anforderungen der
> Korrektoren gerecht zu werden.
so, wie Du es unten getan hast, ist das okay. Mir selbst hätte es sogar gereicht, wenn Du geschrieben hättest: Der Beweis geht genauso wie im Falle der Menge [mm] $S\,,$ [/mm] nur dass man im Falle der Menge [mm] $T\,$ [/mm] kein ausgezeichnetes [mm] $k\,$ [/mm] hat, sondern das [mm] $k\,$ [/mm] dort durch ein beliebiges, aber festes, $j [mm] \in \{1,...,n\}$ [/mm] überall ersetzt. Aber geh' lieber auf Nummer sicher und schreibe es so auf, wie Du es hier getan hast, dann sollte sich eigentlich niemand beschweren können!
> Ich versuchs mal so:
> T:=$ $ [mm]\{\delta \in V: \delta ist multilinear,d.h. linear in jeder Spalte \}[/mm]
> $
>
> Seien [mm]\delta, \delta' \in[/mm] T
> Sei nun j [mm]\in \{1,..,n\}[/mm] beliebig aber fast
Nicht fast, sondern fest!
> ZuZeigen: [mm]\delta'':= \delta[/mm] + [mm]\delta'[/mm] linear in der j-ten
> Spalte
> Analog zu a):
> [mm]\delta''(a_1,\ldots,a_{j-1},\lambda a_j ,a_{j+1},\ldots,a_n) =\lambda \cdot{}\delta''(a_1,\ldots,a_{j-1}, a_j ,a_{j+1},\ldots,a_n)[/mm]
>
> [mm]\delta''(a_1,\ldots,a_{j-1},a_j[/mm] + [mm]x_j ,a_{j+1},\ldots,a_n) = \delta''(a_1,\ldots,a_{j-1}, a_j ,a_{j+1},\ldots,a_n) +\delta''(a_1,\ldots,a_{j-1}, x_j ,a_{\red{k}j+1},\ldots,a_n)[/mm]
Das [mm] $\red{k}$ [/mm] ist da sicher nur ein Vertipper Deinerseits!
>
> Sei [mm]\delta \in[/mm] T
> Sei nun j [mm]\in \{1,..,n\}[/mm] beliebig aber fast
Siehe oben: fest! Das [mm] $j\,$ [/mm] und [mm] $\delta$ [/mm] hättest Du ruhig noch aus dem obigen Teil hernehmen können (Du hast ja bzgl. eines [mm] $j\,$'s [/mm] ZWEI Eigenschaften zu zeigen - logisch wäre es also, hier nicht nochmal [mm] $\delta$ [/mm] und [mm] $j\,$ [/mm] neu zu wählen, was aber auch nicht wirklich falsch ist - das liegt aber an dem, was Du zu zeigen hast!)
> ZuZeigen: [mm]\lambda[/mm] * [mm]\delta \in[/mm] T
> Analog zu a)
> [mm]\lambda *(\delta(a_1,\ldots,a_{j-1},a_j[/mm] + [mm]x_j ,a_{j+1},\ldots,a_n) =\lambda (\delta(a_1,\ldots,a_{j-1}, a_j ,a_{j+1},\ldots,a_n)+\delta(a_1,\ldots,a_{j-1},x_j ,a_{j+1},\ldots,a_n))[/mm]
"Logischer/vollständiger:"
[mm] $$(\lambda *\delta)(a_1,\ldots,a_{j-1},a_j+ x_j ,a_{j+1},\ldots,a_n)=\lambda *(\delta(a_1,\ldots,a_{j-1},a_j+ x_j ,a_{j+1},\ldots,a_n))=\lambda*(\delta(a_1,\ldots,a_{j-1}, a_j ,a_{j+1},\ldots,a_n)+\delta(a_1,\ldots,a_{j-1},x_j ,a_{j+1},\ldots,a_n))$$
[/mm]
[mm] $$=\lambda*(\delta(a_1,\ldots,a_{j-1}, a_j ,a_{j+1},\ldots,a_n))+\lambda*(\delta(a_1,\ldots,a_{j-1},x_j ,a_{j+1},\ldots,a_n))=(\lambda*\delta)(a_1,\ldots,a_{j-1}, a_j ,a_{j+1},\ldots,a_n)+(\lambda*\delta)(a_1,\ldots,a_{j-1},x_j ,a_{j+1},\ldots,a_n)\,.$$
[/mm]
Die neue Funktion heißt ja [mm] $\lambda*\delta=(\lambda*\delta)\,,$ [/mm] für die Du etwas zeigen sollst - und die erste Gleichheit (bei meiner Gleichungskette oben) gilt nach Definition von der Funktion [mm] $\lambda*\delta$!! [/mm] Das letzte Gleichheitszeichen ist auch per Definitionem von [mm] $\lambda*\delta$!
[/mm]
Ich weiß nicht, ob ich Dich vorhin drauf hingewiesen habe. Also, wenn man ganz penibel korrigiert, könnte man Dir quasi "wegen 'nicht ganz vollständig aufgeschrieben' " ein paar kleine Punkte abziehen!
> [mm]\lambda[/mm] * [mm](\delta(a_1,\ldots,a_{j-1},\mu a_j ,a_{j+1},\ldots,a_n)= \lambda (\cdot\mu (\delta(a_1,\ldots,a_{j-1}, a_j ,a_{j+1},\ldots,a_n))[/mm]
>
> Kannst du dir das hier noch anschauen?, Würd mich freuen
Beim Rest weiß ich jetzt gar nicht, wo die Aufgaben plötzlich alle herkommen. Aber da darf jetzt auch mal jmd. anderes drüberschauen, wird mir ein wenig zuviel^^ (Ist nicht bös' gemeint! )
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 So 11.03.2012 | | Autor: | sissile |
danke ;)
Ja ich weiß, ist ein bisschen viel geworden ;)
Mir wärs nur wichtig, dass mir noch wer bei Punkt g) hilft! ABer die AUfgabe hat eh noch paar Täg´chen Zeit ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 So 11.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> danke ;)
> Ja ich weiß, ist ein bisschen viel geworden ;)
> Mir wärs nur wichtig, dass mir noch wer bei Punkt g)
> hilft! ABer die AUfgabe hat eh noch paar Täg´chen Zeit ;)
-----------------------
> g) $ [mm] \delta \in [/mm] $ V: $ [mm] \delta [/mm] $ ist multilinear und alternierend
Du meinst [mm] $\red{U}:=\{\delta \in V: \delta \text{ ist multilin. und alternierend}\}$
[/mm]
> Ich weiß alternierend bedeutet:
> - stimmen zwei benachbarte Spalten von A überein, so gilt $ [mm] \delta(A)=0 [/mm]
> $
> äquivalent dazU: stimmen zwei Spalten von A überein, so gilt $ [mm] \delta(A)=0 [/mm] $
> und wiederum äqivalent dazu: Sind die Spalten von A linear abhängig so
> gilt $ [mm] \delta(A)=0 [/mm] $
> Nach dem Bsp. wissen wir, dass sie multilinearen und die alternierenden
> einen teilraum bilden. Bilden dann nicht automatisch die Verknüpfung der Eigenschaften einen Teilraum, bzw. was ist hier noch zu zeigen?
Edit: Oh, ich habe übersehen, dass Du auch schonmal zeigen musstest, dass die alternierenden Abbildungen einen Teilraum bilden. Daher vergiss das, was ich unten geschrieben habe. Dann hast Du Recht: Dann folgt sofort, dass man wegen [mm] $\red{U} \subseteq [/mm] T$ nichts mehr bzgl. der Multilinearität zeigen muss, und wegen [mm] $\red{U} \subseteq \{\text{alternierende Abb.}\}$ [/mm] braucht man auch nichts mehr bzgl. "alternierend" zu zeigen, sofern [mm] $\{\text{alternierende Abb.}\}$ [/mm] als TR erkannt wurde!
P.S.:
Wir sollten nie vergessen, dass wir bei TR-Eigenschaften auch immer zeigen müssen, dass die betrachtete Menge nicht leer ist beziehungsweise das Nullelement enthält. Oben folgt das dann, weil der Schnitt [mm] $\{\text{alternierende Abb.}\} \cap [/mm] T$ (das ist übrigens nichts anderes als die Menge [mm] $\red{U}$) [/mm] halt das Nullelement enthalten muss, weil der Schnitt zweier URe stets dieses enthält, weil ja jeder UR dieses enthält!
Die einfachste Argumentation ist hier übrigens:
[mm] $$\red{U}= [/mm] T [mm] \cap \{\text{alternierende Abb.}\}$$
[/mm]
und der Schnitt von (sogar beliebig vielen) Unterräumen ist stets wieder ein UR. (Beweis ist fast trivial, und wird erfahrungsgemäß standardmäßig früh in der LA geführt - ich denke, dass ihr das schon getan habt!)
Ne, automatisch nicht. Aber Du kannst sagen:
Es ist sicher [mm] $\red{U} \subseteq T\,,$ [/mm] daher brauchen wir in [mm] $\red{U}$ [/mm] bzgl. der Multilinearität nichts mehr zu zeigen.
Aber zu zeigen bleibt noch:
- Addiert man zwei Elemente aus [mm] $\red{U}\,,$ [/mm] so ist auch dieses Element alternierend
und zudem halt
- multipliziert man einen Skalar an eine Funktion aus [mm] $\red{U}\,,$ [/mm] so ist die so entstehende Funktion auch alternierend.
Wichtig: Benutz' halt eine konkrete Charakterisierung bzgl. des Begriffs "alternierend".
Also etwa:
Seien [mm] $\delta,\delta' \in \red{U}\,.$ [/mm] Seien [mm] $A\,$ [/mm] eine Matrix wie sonst in der Aufgabe, [mm] $x\,$ [/mm] ein "passender Spaltenvektor", nur, dass [mm] $A=(a_1,...,a_n)$ [/mm] mit [mm] $a_i=a_{i+1}$ [/mm] für ein $i [mm] \in \{1,...,n-1\}$ [/mm] (gehen wir nun einfach mal von $n [mm] \ge [/mm] 2$!), also mit [mm] $a_i:=x=a_{i+1}$
[/mm]
[mm] $$A=(a_1,...,a_{i-1},x,x,a_{i+2},...,a_n)$$
[/mm]
(anders gesagt: [mm] $A\,$ [/mm] ist eine Matrix wie sonst mit der Eigenschaft, dass sie zwei benachbarte Spalten, nämlich die i-te und die (i+1)-te, hat - und diese ist halt der Spaltenvektor x!)
Nun ist dann zu zeigen, dass
[mm] $$(\delta+\delta')(A)=0$$
[/mm]
folgt.
Analoges für [mm] $\lambda*\delta$...
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 12.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
