Vektorraum < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
| Aufgabe | Es sei
[mm] \produkt [/mm] n := [mm] \{ \summe_{j=0}^{n} pj x^j | pj \in \IR, j=0,1,....,n \}
[/mm]
die Menge der Polynome vom Höchstgrad n in der reellen Veränderlichen x. Auf [mm] \produkt [/mm] n sei die Addition und Multiplikation mit Skalaren [mm] \lambda \in \IR [/mm] definiert als
(p+q)(x)= [mm] \summe_{j=0}^{n} [/mm] (pj+qj) [mm] x^j [/mm] und [mm] (\lambda [/mm] p) (x) = [mm] \summe_{j=0}^{n} [/mm] ( [mm] \lambda [/mm] pj) [mm] x^j [/mm] .
Hierbei sind p,q [mm] \in \produkt [/mm] n Polynome und somit von der Form
p(x) = [mm] \summe_{j=0}^{n} [/mm] pj [mm] x^j [/mm] q(x)= [mm] \summe_{j=0}^{n} [/mm] qj [mm] x^j
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \produkt [/mm] n hiermit ein [mm] \IR [/mm] - Vektorraum ist.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt. |
Wie kann man so etwas beweisen? Mit den Vektorräumen fällt es mir sehr schwer :S
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei
>
> [mm]\produkt[/mm] n := [mm]\{ \summe_{j=0}^{n} pj x^j | pj \in \IR, j=0,1,....,n \}[/mm]
>
> die Menge der Polynome vom Höchstgrad n in der reellen
> Veränderlichen x. Auf [mm]\produkt[/mm] n sei die Addition und
> Multiplikation mit Skalaren [mm]\lambda \in \IR[/mm] definiert als
>
> (p+q)(x)= [mm]\summe_{j=0}^{n}[/mm] (pj+qj) [mm]x^j[/mm] und [mm](\lambda[/mm] p) (x)
> = [mm]\summe_{j=0}^{n}[/mm] ( [mm]\lambda[/mm] pj) [mm]x^j[/mm] .
>
> Hierbei sind p,q [mm]\in \produkt[/mm] n Polynome und somit von der
> Form
>
> p(x) = [mm]\summe_{j=0}^{n}[/mm] pj [mm]x^j[/mm] q(x)= [mm]\summe_{j=0}^{n}[/mm] qj [mm]x^j[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass [mm]\produkt[/mm] n hiermit ein [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
- Vektorraum
> ist.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
> Wie kann man so etwas beweisen? Mit den Vektorräumen
> fällt es mir sehr schwer :S
weil der Raum der (reellwertigen) stetigen Funktionen (in einer reellen Veränderlichen) mit entsprechender "punktweise definierten Addition"
$$(f \oplus g)(x)=(f+g)(x):=f(x)+g(x)$$
(beachte, dass das + nach dem ersten Gleichheitszeichen auch für $\oplus$ steht, während das letzte + "für die bekannte Addition" zwischen "den Zahlen $f(x)\,$ und $g(x)\,$ steht" )
und punktweisen skalaren Multiplikation
$$(\lambda \odot f)(x)=(\lambda*f)(x):=\lambda*f(x)$$
(hierbei seien $f,g\,$ stetig und $\lambda \in \IR$)" bereits ein Vektorraum ist, reicht es, die Unterraumkriterien zu prüfen (Polynome sind insbesondere stetig).
(Beachte: Die Addition zweier stetiger Funktion wird eigentlich $f \oplus g$ geschrieben, und was damit wirklich gemeint ist, besagt die "punktweise Definition". Analog für die Multiplikation einer stetigen Funktion $f\,$ und einem Skalar $\lambda \in \IR\,,$ diese wird notiert als $\lambda \odot f\,,$ und wie die Funktion $\lambda \odot f$ im Endeffekt konkret aussieht, sagt die zugehörige punktweise Definition.)
Zeige also:
1.) $\produkt n$ enthält ein neutrales Element (das Nullpolynom; warum hat es Grad $\le n$?). Insbesondere ist damit $\produkt n \not=\emptyset\,.$
2.) Für $f,g \in \produkt n$ und $\lambda, \mu \in \IR$ gilt
$$(\lambda* f+\mu *g) \in \produkt n\,.$$
Dies zeigt, dass $\produkt n$ sowohl bzgl. der entsprechenden Addition als auch der skalaren Multiplikation abgeschlossen ist. In Worten:
Beide Operationen liefern wieder Elemente aus $\produkt n\,.$
P.S.:
Beachte, dass mit $p+q\,$ eigentlich, in der von mir ergänzenten Notation, $p \oplus q$ gemeint ist, wobei man dann hier strenggenommen auch anstelle $\oplus$ genauer die Einschränkung $\left.{\oplus}\right|_{\produkt n \times \produkt n}$ zu notieren hätte. (Analog für die skalare Multiplikation.)
Wenn man penibel ist, hat man hier also bei 2.) eigentlich wirklich zu zeigen:
$$f, g \in \produkt n \text{ und }\lambda, \mu \in \IR$$
$$ \Rightarrow \big((\lambda \left.\odot \right|_{\IR \times \produkt n} f)\left.\oplus \right|_{Bild(\left.\odot \right|_{\IR \times \produkt n})\times Bild(\left.\odot \right|_{\IR \times \produkt n})} (\mu \left.\odot \right|_{\IR \times \produkt n} g)\big) \in \produkt n\,.$$
Sieht herrlich aus, oder? 
(In der Version, wie ich es vorher notiert hatte, hätte man es so nur schreiben dürfen, wenn man vorher zeigt, dass $\left.\odot\right|_{\IR \times \produkt n}: \IR \times \produkt n \to \produkt n$ gilt.)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
Wie beweise ich es mit dem neutralen Element?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wie beweise ich es mit dem neutralen Element?
was ist "es"?
Was ist denn mit [mm] $\tilde{N}: \IR \to \IR$ [/mm] definiert durch
[mm] $$\tilde{N}(x):=\sum_{k=0}^n \tilde{n}_k x^k\;\;(x \in \IR)\,,$$
[/mm]
wenn man [mm] $\tilde{n}_k:=0$ ($k=0,\ldots, [/mm] n$) setzt?
Nimm' mal $f [mm] \in \produkt [/mm] n$ und berechne [mm] $f+\tilde{N}\,,$ [/mm] indem Du für jedes [mm] $x\,$ [/mm] dann
[mm] $$(f+\tilde{N})(x)$$
[/mm]
berechnest. Was "ändert" [mm] $\tilde{N}$ [/mm] an [mm] $f\,$? [/mm] Warum ist [mm] $\tilde{N} \in \produkt [/mm] n$?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Bilmem,
da es für die Allgemeinheit auch wichtig ist, zu wissen, was Dir bisher mitgeteilt wurde, hier nochmal der Inhalt meiner PN an Dich:
--
Die Definition des [mm] $\tilde{N}$ [/mm] zeigt, dass [mm] $\tilde{N}$ [/mm] ein Element von [mm] $\produkt [/mm] n$ ist. Sei $f [mm] \in \produkt n\,,$ [/mm] also [mm] $f(x)=\sum_{k=0}^n f_k x^k$für [/mm] jedes reelle [mm] $x\,,$ [/mm] wobei alle [mm] $f_k\,$ [/mm] reell seien. Nach Definition der [mm] $\tilde{n}_k=0$ [/mm] bzw. des so definierten [mm] $\tilde{N}$ [/mm] gilt hier dann für jedes reelle [mm] $x\,$
[/mm]
[mm] $$(f+\tilde{N})(x)\red{=\sum_{k=0}^n f_k x^k + \sum_{k=0}^n \tilde{n}_k x^k}=\sum_{k=0}^n (f_k+\tilde{n}_k)x^k=\sum_{k=0}^n (f_k+0)x^k=\sum_{k=0}^n f_kx^k=f(x)\,,$$
[/mm]
also
$$f + [mm] \tilde{N}=f\,.$$
[/mm]
Also ist [mm] $\tilde{N}$ [/mm] neutrales Element bzgl. der Addition (in [mm] $\produkt [/mm] n$) und, wie oben gesehen, [mm] $\tilde{N} \in \produkt n\,.$
[/mm]
--
Edit:
Kleiner "Logikfehler":
Nach Eurer Definition von $(p+q)(x)$ sollte man die rotmarkierte Stelle eigentlich oben weglassen. Es ist zwar nicht falsch, folgt aber nicht ganz unmittelbar aus der Definition (sondern, nachdem man ein paar Millisekunden drüber nachgedacht hat, warum auch diese Gleichheit gilt).
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
Ist mit diesem Schritt das neutrale Element bewiesen?
Außerdem verstehe ich den 2. in deiner ersten Antwort nicht. Du meintest ja, dass ich zeigen soll, dass [mm] \produkt [/mm] n ein neutrales Element enthält, das wurde ja jetzt gemacht. Aber wie mache ich jetzt weiter, und vielleicht ist es eine blöde Frage, aber, da es sich ja um eine abelsche Gruppe handelt, muss doch die Assoziativität etc. doch auch bewiesen werden oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist mit diesem Schritt das neutrale Element bewiesen?
damit ist bewiesen, dass [mm] $\produkt [/mm] n$ ein Neutrales hat (wir haben es doch explizit hingeschrieben!). Bitte achte auf Deine Formulierungen. Die Formulierung Deiner Frage macht keinen Sinn. Zum Glück weiß ich, was Du wissen wolltest und habe Dir das jetzt beantwortet.
> Außerdem verstehe ich den 2. in deiner ersten Antwort
> nicht. Du meintest ja, dass ich zeigen soll, dass [mm]\produkt[/mm]
> n ein neutrales Element enthält, das wurde ja jetzt
> gemacht.
Genau!
> Aber wie mache ich jetzt weiter, und vielleicht
> ist es eine blöde Frage, aber, da es sich ja um eine
> abelsche Gruppe handelt, muss doch die Assoziativität etc.
> doch auch bewiesen werden oder?
Nein. Das brauchst Du deshalb nicht, weil (Dir bzw. Euch hoffentlich auch) bekannt ist, dass die stetigen Funktionen [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] mit der Addition
[mm] $$f+g\,$$
[/mm]
($f,g : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] stetig)
definiert durch
[mm] $$(f+g)(x):=f(x)+g(x)\;\;(x \in \IR)$$
[/mm]
und der skalaren Multiplikation
[mm] $$\lambda*f$$
[/mm]
[mm] ($\lambda \in \IR \text{ und }f: \IR \to \IR$ [/mm] stetig)
definiert durch
[mm] $$(\lambda*f)(x):=\lambda*f(x)\;\;(x \in \IR)$$
[/mm]
schon ein Vektorraum ist.
Dann sollte man bei Deiner Aufgabe bemerken bzw. (kurz) begründen, dass die von Euch auf [mm] $\produkt [/mm] n$ (welches Teilmenge der Menge aller stetigen Funktionen [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] ist) definierte Addition
[mm] $$p+q\,$$
[/mm]
($p, q [mm] \in \produkt [/mm] n$)
definiert durch
[mm] $$(p+q)(x):=\sum_{k=0}^n (p_k+q_k)x^k$$
[/mm]
"eigentlich die gleiche" Addition ist, wie die der stetigen Funktionen. Genauer:
Schränkt man die oben definierte Addition (der stetigen Funktionen [mm] $\IR \to \IR$) [/mm] auf den Raum [mm] $\produkt [/mm] n$ ein, so erhält man die gleiche Addition, wie die von Euch definierte. Dafür braucht man natürlich gewisse Eigenschaften des Körpers [mm] $(\IR,+,*)\,,$ [/mm] es ist aber ziemlich banal.
Analoges für die von Euch definierte skalare Multiplikation auf [mm] $\produkt n\,.$
[/mm]
Wenn Du Dir das klar gemacht hast (das dauert nicht lange, man braucht aber schon das Wissen, dass [mm] $(\IR,+,*)$ [/mm] ein Körper ist), dann brauchst Du nur noch prüfen, dass [mm] $\produkt [/mm] n$ die Unterraumeigenschaften erfüllt.
Und davon hast Du nun nur noch eine Bedingung (die eigentlich zwei vereint - die man auch getrennt prüfen könnte) zu prüfen.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
ich muss also nur noch folgendes überweisen U [mm] \not= \emptyset
[/mm]
Wie mache ich das?
|
|
|
| |
|
Hallo Bilmem,
> ich muss also nur noch folgendes überweisen U [mm]\not= \emptyset[/mm]
Das ist schön gesagt, bisher dachte ich, ich müsste immer bei der Bank meine Miete überweisen, aber dass man auch in der Mathematik überweisen kann, ist schön ...
Aber nein, das reicht nicht!
Es sind 3 Kriterien für einen Untervektorraum zu prüfen!
Du solltest weniger Raten mit Günther Jauch, sondern mal lieber den Skriptjoker nehmen und die Definitionen dort nachschlagen!
>
> Wie mache ich das?
Äquivalent zu [mm]U\neq\emptyset[/mm] (wobei [mm]U=\big\prod_n[/mm] ist - keine Ahnung, warum du es auf einmal [mm]U[/mm] nennst, aber gut) ist zu zeigen, dass [mm]0\in U[/mm] (mit 0 ist der Nullvektor gemeint - der ist hier was?)
Aber das hat Marcel alles schon erwähnt ...
Das ist echt zäh hier ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
das ist doch dann bewiesen, wenn
0 [mm] \in \produkt_{}^{n} [/mm] ist dann kann [mm] \produkt_{}^{n} \not= \emptyset [/mm] sein.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> das ist doch dann bewiesen, wenn
>
> 0 [mm]\in \produkt_{}^{n}[/mm] ist dann kann [mm]\produkt_{}^{n} \not= \emptyset[/mm]
> sein.
Ganz genau, du solltest nur genauestens sagen, was denn hier der Nullvektor $0$ ist ...
Das ist schon entscheidend!
Bleiben 2 weiter Punkte abzuklären ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Bilmem |
Ist der Nullvektor 0:= [mm] \vektor{0 \\ ...\\ 0} [/mm] ( denn ich habe ja keine Zahlen gegeben außer die 0)
und
-p := (-1)p
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist der Nullvektor 0:= [mm]\vektor{0 \\ ...\\ 0}[/mm] ( denn ich
> habe ja keine Zahlen gegeben außer die 0)
>
> und
>
> -p := (-1)p
>
der "Nullvektor" ist hier gerade die Nullfunktion [mm] $\underbrace{\tilde{N}}_{\text{Funktion }\IR \to \IR} \in \produkt [/mm] n$ mit
[mm] $$\tilde{N}(x):=\sum_{k=0}^n \underbrace{\tilde{n}_k}_{=0} x^k=\sum_{k=0}^n 0*x^k \equiv 0\,.$$ [/mm]
Die anderen zwei Bedingungen, die Du zu zeigen hast, sind
$$f,g [mm] \in \produkt [/mm] n [mm] \Rightarrow [/mm] (f+g) [mm] \in \produkt [/mm] n$$
und
[mm] $$\lambda \in \IR \text{ und }f \in \produkt [/mm] n [mm] \Rightarrow (\lambda [/mm] * f) [mm] \in \produkt n\,.$$
[/mm]
Ich hatte das in einer (äquivalenten) Fassung à la
[mm] $$\lambda, \mu \in \IR \text{ und }f,g \in \produkt [/mm] n$$
[mm] $$\Rightarrow (\lambda*f+\mu*g) \in \produkt [/mm] n$$
verbacken.
P.S.:
Ich befürchte, Du hast hier noch nicht mal verstanden, wie (hier) die Definition der Addition zweier Polynome aussieht, und was das ganze hier mit Vektorräumen zu tun hat. Es geht nicht um "Anschauungsräume" [mm] $\IR^n\,,$ [/mm] auch, wenn man da auch Bezüge herstellen kann. Aber die wirst Du jetzt sicher noch nicht verstehen, insbesondere nicht, wenn Du hier noch nicht mal wirklich die Aufgabe bzw. Aufgabenstellung verstehst.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:36 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Schachuzipus,
> Hallo Bilmem,
>
>
> > ich muss also nur noch folgendes überweisen U [mm]\not= \emptyset[/mm]
>
> Das ist schön gesagt, bisher dachte ich, ich müsste immer
> bei der Bank meine Miete überweisen, aber dass man auch in
> der Mathematik überweisen kann, ist schön ...
ich überweise demnächst meinen Vermietern dann einen Unterraum :P
> Aber nein, das reicht nicht!
>
> Es sind 3 Kriterien für einen Untervektorraum zu prüfen!
Das stimmt zwar auch, aber nicht in meiner Version. Ich habe Deine verbleibenden 2 Kriterien in einer verbacken. Ist mehr oder weniger Geschmackssache. 
> Du solltest weniger Raten mit Günther Jauch, sondern mal
> lieber den Skriptjoker nehmen und die Definitionen dort
> nachschlagen!
>
> >
> > Wie mache ich das?
>
> Äquivalent zu [mm]U\neq\emptyset[/mm] (wobei [mm]U=\big\prod_n[/mm] ist -
> keine Ahnung, warum du es auf einmal [mm]U[/mm] nennst, aber gut)
> ist zu zeigen, dass [mm]0\in U[/mm] (mit 0 ist der Nullvektor
> gemeint - der ist hier was?)
>
> Aber das hat Marcel alles schon erwähnt ...
>
> Das ist echt zäh hier ...
Leider. Nachdem ich Anfangs dachte, Bilmem hätte das, was ich gemacht habe, verstanden, zweifle ich nach seiner letzten Frage doch enorm dran. ^^
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
