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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Nadja |
Hallo
Kann mir jemand helfen.
Und zwar muss ich zeigen: {(1,1,1),(1,2,3),(1,4,9)} ist eine Basis von [mm] R^3.
[/mm]
wie zeige ich das?
Nadja
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Hall!
> Und zwar muss ich zeigen: {(1,1,1),(1,2,3),(1,4,9)} ist
> eine Basis von [mm]R^3.
[/mm]
Also, wenn die Menge dieser drei Vektoren eine Basis ist, dann muss sie ein linear unabhängiges Erzeugendensystem sein. Du musst also zeigen, dass sie linear unabhängig sind, und dass sie jeden Vektor des [mm] \IR^3 [/mm] darstellen.
Für die lineare Unabhängigkeit (wenn du sie richtig zeigen möchtest, eigentlich sieht man es ja direkt  ) stellst du ein LGS aus:
[mm] x_1+x_2+x_3=0
[/mm]
[mm] x_1+2x_2+3x_3=0
[/mm]
[mm] x_1+3x_2+9x_3=0
[/mm]
Wenn du das jetzt auflöst, und da kommt nur die triviale Lösung, also [mm] x_1=x_2=x_3=0, [/mm] raus, dann hast du gezeigt, dass die drei Vektoren linear unabhängig sind (ich hab's gemacht, es stimmt natürlich)!
Bei dem Erzeugendesystem machst du es so:
Es heißt ja im Prinzip:
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}*a_1+ \vektor{1 \\ 2 \\ 3 }*a_2+ \vektor{1 \\ 4 \\ 9 }*a_3=x
[/mm]
für alle [mm] x\in\IR^3
[/mm]
jetzt musst du zeigen, dass dieses Gleichungssystem lösbar ist, dass es also [mm] a_1 [/mm] bis [mm] a_3 [/mm] gibt.
Hilft dir das weiter?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Sa 13.11.2004 | | Autor: | SERIF |
Hallo Es ist fast alles richtig. Ich glaube Bastiane hat eine Tipfehler. Oder war das nur ein beispiel. Ich korigiere es, und wünsche vile spaß
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] = 0
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 4x_{3} [/mm] = 0
[mm] x_{1} [/mm] + 3 [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 9x_{3} [/mm] = 0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Gnometech |
Grüße!
Ich habe mir die Freiheit genommen, den kleinen Tippfehler zu korrigieren - ich hoffe, Du nimmst es mir nicht übel, Bastiane. 
Lars
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