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| Aufgabe | Begründen Sie: Für den Flächeninhalt A eines Parallelogramms mit den Seiten u, v [mm] \in R^3 [/mm] und dem davon eingeschlossenen Winkel [mm] \alpha [/mm] gilt
i) A= |u| |v| [mm] sin\alpha
[/mm]
ii) A= |u x v|
Für die erste Identität sollte man die grundlegende Formel “Flächeninhalt = Grundseite * Höhe” benutzen. Beim Nachweis der zweiten Identität hilft die für alle x [mm] \in \IR [/mm] gültige Formel
[mm] sin^2 [/mm] x + [mm] cos^2 [/mm] x = 1. |
ich weiß nicht wie ich bei ii) den Flächeninhalt A mit der oben genannten Formel begründen soll.
Beim kreuzprodukt aus zwei Vektoren (u, v) entsteht ein neuer Vektor (w) der senkrecht zu den beiden Vektoren (u, v) steht. und der Betrag dem vektor w ist dann der Flächeninhalt des paralellogramms.
reicht dies als Begründung?
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Hallo,
> Begründen Sie: Für den Flächeninhalt A eines
> Parallelogramms mit den Seiten u, v [mm]\in R^3[/mm] und dem davon
> eingeschlossenen Winkel [mm]\alpha[/mm] gilt
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> i) A= |u| |v| [mm]sin\alpha[/mm]
>
> ii) A= |u x v|
>
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> Für die erste Identität sollte man die grundlegende
> Formel “Flächeninhalt = Grundseite * Höhe” benutzen.
> Beim Nachweis der zweiten Identität hilft die für alle x
> [mm]\in \IR[/mm] gültige Formel
> [mm]sin^2[/mm] x + [mm]cos^2[/mm] x = 1.
> ich weiß nicht wie ich bei ii) den Flächeninhalt A mit
> der oben genannten Formel begründen soll.
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> Beim kreuzprodukt aus zwei Vektoren (u, v) entsteht ein
> neuer Vektor (w) der senkrecht zu den beiden Vektoren (u,
> v) steht. und der Betrag dem vektor w ist dann der
> Flächeninhalt des paralellogramms.
>
> reicht dies als Begründung?
nein, keinesfalls. Die zweite Aufgabe ist ein wenig tricky, aber nicht allzusehr. Der gegebene Tipp ist vielleicht auch ein ganz klein wenig irreführend. Man benötigt diese Beziehung an einer bestimmten Stelle, aber davor muss man sich ersteinmal klarmachen, wie überhaupt die Winkelfunktionen in der Rechnung Einzug halten können. Probiere mal folgenden Fahrplan:
- Stelle ganz stupide den Betrag des Kreuzproduktes in Abhängigkeit der Komponenten beider Vektoren dar.
- Forme den Wurzelinhalt geschickt um, dein Betrag sollte dann (Zwischenstand zur Kontrolle) so aussehen:
[mm] |u\times{v}|=\sqrt{\vec{u}^2*\vec{v}^2-(\vec{u}*\vec{v})^2}
[/mm]
Wenn du jetzt unter der Wurzel die Definition des Skalarprodukts zusammen mit dem gegebenen Hinweis (trigonometrischer Pythagoras) anwendest, kommst du vollends leicht ans Ziel.
Gruß, Diophant
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