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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Mo 13.08.2007 | | Autor: | JKS1988 |
| Aufgabe | Zeige dass ein Richtungsvektor der Schnittgeraden zwischen den Ebenen [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] der folgende ist:
[mm] \pmat{ a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 } [/mm] |
Soooo, durch meine "Recherche" habe ich mitbekommen dass dies das Vektorprodukt ist! ich verstehe allerdings weder rechenweise noch herleitung.
kann mir jmd möglichst mit eigenen worten erklären wie man das bildet, wozu es dient (außer siehe Aufgabe (Schnittgerade)) und wie es definiert ist?
Besten Dank
Gruß
JKS1988
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Hallo
Das Vektorprodukt von 2 Vektoren [mm]\vec u[/mm] und [mm]\vec v[/mm], ist ein Vektor, der senkrecht auf [mm]vec u[/mm] und [mm]vec v[/mm]
Das Skalarprodukt von [mm]\vec u[/mm] x [mm]\vec v[/mm] mit [mm]\vec u[/mm] und [mm]\vec v[/mm] muss also 0 sein.
Das sind die ersten beiden "Bedingungen" des Vektorproduktes. Sie geben die Richtung von [mm]\vec u[/mm] x [mm]\vec v[/mm] an.
Außerdem ist die Länge des Vektorproduktes definiert als der Flächeninhalt von einem Parallelogramm, das von [mm]\vec u[/mm] und [mm]\vec v[/mm] aufgespannt wird.
Wie man die Fläche eines Parallelogrammes berechnet, kannst du dir mit einer Formel aus der Trigonometrie herleiten.
Das Kreuzprodukt wird z.b. beim Berechnen von Abständen oder beim Berechnen von Flächeninhalten gebraucht.
Außerdem ist es bei der Umwandlung von der Parameterform einer Ebene in die Koordinaten oder Normalenform sehr hilfreich.
Es gibt natürlich noch viele weitere Anwendungen des Kreuzproduktes.
Gruß
Reinhold
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Di 14.08.2007 | | Autor: | JKS1988 |
Hallo!
Habe das ganze so weit verstanden.
Die mathematische Def. lautet laut Wikipedia:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier wird leider nicht erwähnt wofür "det" steht und es werden keinerlei Zwischenschritte angezeigt oder erläutert.
Kann mir hier jmd. die Erklärung liefern?
Ist es außerdem so, dass man durch das Vektorprodukt eine Parameterdarstellung leichter in eine Koordinatendarstellung umwandeln kann weil man durch das Vektorprodukt schnell den Normalenvektor errechnet?
Dank und Gruß
JKS1988
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Di 14.08.2007 | | Autor: | Kroni |
> Hallo!
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> Habe das ganze so weit verstanden.
>
> Die mathematische Def. lautet laut Wikipedia:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
Hi, das ist so korrekt.
> Hier wird leider nicht erwähnt wofür "det" steht und es
> werden keinerlei Zwischenschritte angezeigt oder
> erläutert.
Das det steht, wie Loddar schon sagte, für die Determinante einer quadratischen Matrix.
Wenn du, wie in dem Beispiel eine 2x2 Matrix hast, dann lässt sich diese so berechnen:
[mm]det \pmat{ a & b \\
c & d }
=\vmat{ a & b \\
c & d }
=ad-bc
[/mm]
Das ist die Definiton der Determinante.
>
> Kann mir hier jmd. die Erklärung liefern?
Ich hoffe, dass du die obige Erkärung als eine akzeptierst.
>
> Ist es außerdem so, dass man durch das Vektorprodukt eine
> Parameterdarstellung leichter in eine
> Koordinatendarstellung umwandeln kann weil man durch das
> Vektorprodukt schnell den Normalenvektor errechnet?
Klar. Bei der Koord.darstellung brauchst du ja einen Vektor, der senkrecht zur Ebene steht. Wenn du dann das Vektorprodukt aus den beiden Richtungsvektoren bildest, hast du direkt sofort den Normalenvektor der Ebene, mit dem du dann recht schnell die Koord.Form aufstellen kannst.
> Dank und Gruß
>
> JKS1988
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 Mi 15.08.2007 | | Autor: | JKS1988 |
Besten Dank, alles verstanden.
gruß
JKS1988
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Determinante
Skalarprodukt![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
