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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Mi 22.10.2008 | | Autor: | tessanie |
| Aufgabe | Es seien A, T [mm] \in \IR^{n x n} [/mm] und T nichtsingulär. Es sei || . || eine (Vektor-) Norm auf [mm] \IR^{n} [/mm] und || . || die davon induzierte Matrixnorm auf [mm] \IR^{n x n}. [/mm] Man zeige:
a) x [mm] \mapsto ||x||_{T} [/mm] :0 [mm] ||T^{-1}x|| [/mm] ist eine Norm auf [mm] \IR.
[/mm]
b) Die davon induzierte Matrixnorm ist A [mm] \mapsto ||A||_{T} [/mm] = [mm] ||T^{-1} [/mm] A T||. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab Probleme diese Aufgaben zu lösen. Meine Idee war, dass ich irgendwie die Norm-Eigenschaften, die wir in der Vorlesung aufgeschrieben haben, beweisen muss.
(N1) Definitheit
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR^{n} [/mm] gilt ||x|| [mm] \ge [/mm] 0
und ||x||=0 [mm] \gdw [/mm] x=0
(N2) Positive Homogenität
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR^{n}, \forall \alpha \in \IR [/mm] gilt || [mm] \alpha [/mm] x || = | [mm] \alpha [/mm] | ||x||
(N3) Dreiecksungleichung
[mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \IR^{n} [/mm] gilt ||x + y|| [mm] \le [/mm] ||x|| + ||y||
Außerdem muss bei der Matrixnorm noch zusätzlich die folgende Bedingung erfüllt sein:
[mm] \forall [/mm] A,B [mm] \in \IR^{n x n} [/mm] gilt ||AB|| [mm] \le [/mm] ||A|| ||B||
Vielen Dank für Antworten, Tipps, Ansätze und Lösungen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Mi 22.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Es seien A, T [mm]\in \IR^{n x n}[/mm] und T nichtsingulär. Es sei
> || . || eine (Vektor-) Norm auf [mm]\IR^{n}[/mm] und || . || die
> davon induzierte Matrixnorm auf [mm]\IR^{n x n}.[/mm] Man zeige:
> a) x [mm]\mapsto ||x||_{T}[/mm] :0 [mm]||T^{-1}x||[/mm] ist eine Norm auf
> [mm]\IR.[/mm]
> b) Die davon induzierte Matrixnorm ist A [mm]\mapsto ||A||_{T}[/mm]
> = [mm]||T^{-1}[/mm] A T||.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich hab Probleme diese Aufgaben zu lösen. Meine Idee war,
> dass ich irgendwie die Norm-Eigenschaften, die wir in der
> Vorlesung aufgeschrieben haben, beweisen muss.
Dann tu es doch.
Bei a) hast Du geschrieben: x $ [mm] \mapsto ||x||_{T} [/mm] $ :0 $ [mm] ||T^{-1}x|| [/mm] $
Was soll das bedeuten ?? Schreibs mal ordentlich auf
FRED
>
> (N1) Definitheit
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR^{n}[/mm] gilt ||x|| [mm]\ge[/mm] 0
> und ||x||=0 [mm]\gdw[/mm] x=0
>
> (N2) Positive Homogenität
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR^{n}, \forall \alpha \in \IR[/mm] gilt ||
> [mm]\alpha[/mm] x || = | [mm]\alpha[/mm] | ||x||
>
> (N3) Dreiecksungleichung
> [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in \IR^{n}[/mm] gilt ||x + y|| [mm]\le[/mm] ||x|| + ||y||
>
> Außerdem muss bei der Matrixnorm noch zusätzlich die
> folgende Bedingung erfüllt sein:
> [mm]\forall[/mm] A,B [mm]\in \IR^{n x n}[/mm] gilt ||AB|| [mm]\le[/mm] ||A|| ||B||
>
>
> Vielen Dank für Antworten, Tipps, Ansätze und Lösungen.
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ups, das sollte folgendes heißen: x $ [mm] \mapsto ||x||_{T} [/mm] := [mm] ||T^{-1}x|| [/mm] $
Du denkst jetzt wahrscheinlich, dass ich die Aufgabe noch gar nicht versucht hab zu lösen, sondern gedacht hab: "Hilfe hier soll ich einen Beweis machen. Das kann ich nicht. Ich stell die Aufgabe einfach ins Internet. Vielleicht rechnet sie mir da einer vor." Aber das stimmt nicht. Ich habe folgendes versucht:
Definitheit:
[mm] ||x||_{T} \ge [/mm] 0
[mm] ||T^{-1} [/mm] x|| [mm] \ge [/mm] 0
wie komm ich jetzt weiter, dass ich sagen kann das der Betrag immer positiv ist? Hab irgendwo gelesen, dass man das substituieren soll. Also y [mm] =T^{-1} [/mm] x. Daraus folgt dann also:
||y|| [mm] \ge [/mm] 0 und damit ist es bewiesen?! Das verstehe ich nicht. y kann doch alles sein.
[mm] ||x||_{T} [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] x=0
[mm] ||T^{-1} [/mm] x||
= [mm] ||T^{-1} [/mm] 0||
= ||0||
= 0
Das sieht logisch aus für mich.
Positive Homogenität:
Kann ich da einfach eine beliebige Zahl ( [mm] \alpha [/mm] ) mit einbauen? Also:
|| [mm] \alpha [/mm] x [mm] ||_{T}
[/mm]
= || [mm] \alpha T^{-1} [/mm] x||
= | [mm] \alpha [/mm] | [mm] ||T^{-1} [/mm] x||
= | [mm] \alpha [/mm] | [mm] ||T^{-1} [/mm] x||
Dreiecksungleichung:
Hier genauso? Kann ich da einfach noch einen weiteren Vektor (y) mit einbauen? Also:
||x + y [mm] ||_{T}
[/mm]
= [mm] ||T^{-1} [/mm] x + [mm] T^{-1} [/mm] y||
[mm] \le ||T^{-1} [/mm] x|| + [mm] ||T^{-1} [/mm] y||
= [mm] ||x||_{T} [/mm] + [mm] ||y||_{T}
[/mm]
Wie ich aber bei b) weiter machen soll weiß ich nicht. Muss ich jetzt nochmal diese drei Eigenschaften zeigen?
Definitheit:
[mm] ||A||_{T} \ge [/mm] 0
[mm] ||T^{-1} [/mm] A T|| [mm] \ge [/mm] 0
Und jetzt? Wieder den ganzen Kram mit y substituieren. Hab auch irgendwo gelesen, dass man da noch einen Vektor x rein tut und durch x auch wieder teilt. Also:
[mm] \frac{||T^{-1} A T x||}{||x||} \ge [/mm] 0
[mm] \frac{||T^{-1} A T T^{-1} x||}{||T^{-1} x||} \ge [/mm] 0
Aber diesen Ansatz versteh ich nicht.
[mm] ||A||_{T}
[/mm]
= [mm] ||T^{-1} [/mm] A T||
Darf man hier auch wieder ein x rein tun? Aber wenn man darf doch nicht durch Null teilen.
[mm] \frac{||T^{-1} A T x||}{||x||}
[/mm]
= [mm] \frac{||T^{-1} A T 0||}{||0||}
[/mm]
Also hier komm ich irgendwie nicht weiter.
Positive Homogenität:
|| [mm] \alpha A||_{T}
[/mm]
= || [mm] \alpha T^{-1} [/mm] A T||
= | [mm] \alpha [/mm] | [mm] ||T^{-1} [/mm] A T||
= | [mm] \alpha [/mm] | [mm] ||A||_{T}
[/mm]
Geht das einfach so?
Dreiecksungleichung:
Ja, hier fehlt mir auch wieder nen zweiter Vektor. Oder muss ich das mit einer zweiten Matrix (B) machen?
||A + [mm] B||_{T}
[/mm]
= [mm] ||T^{-1} [/mm] A T + [mm] T^{-1} [/mm] B T||
= [mm] ||T^{-1} [/mm] A T|| + [mm] ||T^{-1} [/mm] B T||
= [mm] ||A||_{T} [/mm] + [mm] ||B||_{T}
[/mm]
Und dann noch diese Zusatzforderung:
[mm] ||AB||_{T}
[/mm]
= [mm] ||T^{-1} [/mm] A T [mm] T^{-1} [/mm] B T||
Ok, ich denk da nochmal drüber nach. Würd mich freuen, nochmal Rückmeldung zu bekommen. Und vielleicht noch den ein oder anderen Tipp, wie ich das mit den Matrizen noch versuchen kann. Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:21 Do 23.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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